 |
A P. 5383. feladat (2022. február) |
P. 5383. Mekkorának kellene lennie – változatlan tengelyforgás és átmérő mellett – a Föld tömegének ahhoz, hogy Budapesten ne lehessen parabolaantennával műholdas tévéadásokat fogni?
Közli: Kis Tamás, Heves
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Budapest a Föld középpontjától \(\displaystyle R\approx 6370~\rm km\) távol van, az Egyenlítő síkjától \(\displaystyle \vartheta=47{,}5^\circ\)-kal északra. Az Egyenlítő síkjában \(\displaystyle r\) sugarú körpályán keringő műholdat akkor nem láthatjuk Budapestről, ha
\(\displaystyle r<\frac{R}{\cos\vartheta}=9430~{\rm km}=r_\text{min}.\)
Legyen a Föld megváltozott tömege \(\displaystyle M^*\), de a forgási ideje a jelenlegi \(\displaystyle T=86\,400~\rm s\). (A műsorszóró műholdak ún. szinkronpályán, az Egyenlítő síkjában és a Földdel megegyező szögsebességgel mozognak. Csak így teljesülhet, hogy a földi antennák mindig ugyanott ,,látják'' a műholdat az égen.)
A vonzócentrum tömege és az \(\displaystyle r\) távolság közötti összefüggés (a Newton-féle gravitációs törvény és a mozgásegyenlet szerint):
\(\displaystyle \gamma \frac{M^*}{r^2}=r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\qquad \text{tehát}\qquad M^*=\frac{r^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)
Ezek szerint a szinkronműhold akkor nem lenne látható, ha
\(\displaystyle M^*<\frac{r_\text{min}^3}{\gamma}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2= 6{,}7\cdot 10^{22}\ \rm kg\)
teljesülne. (Ez az érték kb. 90-szer kisebb, mint a Föld tényleges tömege.)
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Bencz Benedek, Ferencz Kamilla, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kürti Gergely, Nagy 456 Imre, Pethő Dorottya, Téglás Panna, Toronyi András. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. februári fizika feladatai