Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5433. feladat (2022. október)

P. 5433. Egy vízzel töltött, téglatest alakú, elhanyagolható falvastagságú akvárium három függőleges oldala a vízből rájuk eső fényt visszaveri. Az akvárium szélessége \(\displaystyle d = 50\) cm, hossza \(\displaystyle L=120\) cm. Az akvárium rövidebb oldalához vízszintes síkban valamekkora beesési szögben lézersugár érkezik. Az ábra felülnézetet mutat. (A víz törésmutatója: \(\displaystyle n=4/3\).)

A kilépő fénysugár – többszöri tükröződés után – éppen a beeső fénysugárral párhuzamosan haladva hagyja el az akváriumot. Legfeljebb hány tükröződés történhetett?

Zsigri Ferenc (Budapest) feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A fény \(\displaystyle \alpha\) beesési szög esetén

\(\displaystyle \beta=\arcsin\frac{\sin\alpha}{n}\)

szögtben halad tovább a vízben. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha<1,\)

\(\displaystyle \beta<\arcsin\frac34=48{,}6^\circ.\)

A törés után a fénysugár többször tükröződhet az akvárium hosszabb oldalfalain és egyszer a rövidebben. Ha tükrözzük az akvárium felülnézeti ábráját az oldalfalakra és a hátsó falára, a fénysugár útja egyenessé válik (lásd az ábrát).

Tegyük fel, hogy mire a fénysugár visszaérkezik az akvárium tükrözésmentes falához (az ábrán a bal szélső egyeneshez), a hosszabb oldalakon \(\displaystyle k\)-szor verődik vissza. Amennyiben \(\displaystyle k\) páratlan szám, a másodszor is megtörő fénysugár az eredetivel párhuzamosan halad a levegőben. Ez a feltétel akkor teljesül, ha a fény az ábrán halványszürkén jelölt sávok valamelyikében éri el a bal szélső vonalat. A geometriai viszonyokból adódik, hogy

\(\displaystyle (k-1)d< 2L\tg\beta<2L\cdot \tg48{,}6^\circ=272{,}2\ \rm cm,\)

vagyis

\(\displaystyle k< 6{,}4.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle k\) páratlan, \(\displaystyle k_\text{max}=5,\) vagyis (a rövidebb oldalon történő egyetlen visszaverődéssel együtt) a fénysugár legfeljebb 6-szor verődhet vissza.


Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Arnold Lőrinc, Beke Bálint, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szatmári András Gábor, Tomesz László Gergő.
4 pontot kapott:Bálint Máté, Schmercz Blanka.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2022. októberi fizika feladatai