Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5475. feladat (2023. március)

P. 5475. Egy \(\displaystyle M=32\) kg tömegű, \(\displaystyle V= 4~\mathrm{dm}^3\) térfogatú tartály súrlódásmentesen mozoghat egy vízszintes asztallapon. A tartályt egy \(\displaystyle m=16\) kg tömegű dugattyú két részre osztja, a bal oldalon \(\displaystyle V_0=1~\mathrm{dm}^3\) térfogatú, \(\displaystyle p_0=0{,}3\) MPa nyomású és \(\displaystyle \kappa=1{,}5\) adiabatikus kitevőjű gázkeverék található. A jobb oldalon vákuum van. Mekkora relatív sebességgel ütközik a dugattyú a henger falának, ha a dugattyú rögzítését feloldjuk? Tételezzük fel, hogy a gáz minden időpillanatban termikus egyensúlyban van!

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.


Megoldás. A dugattyú rögzítésének feloldása után a gáz adiabatikusan tágul, és eközben lehűl. A gáz belső energiájának csökkenése fedezi a dugattyú és a tartály kinetikus energiájának növekedését. A mozgás során a rendszer súlypontja mozdulatlan marad.

A folyamat során a gáz négyszeresére tágul, tehát

\(\displaystyle p_0V_0^{\kappa}=p(4V_0)^{\kappa}, \)

ahonnan

\(\displaystyle p=4^{-\kappa}p_0=\frac{1}{8}p_0. \)

Az univerzális gáztörvény szerint

\(\displaystyle \left(\frac{1}{8}p_0\right)(4V_0)=nRT=\frac{1}{2}nRT_0, \)

ahol \(\displaystyle n\) a gázkeverék részecskéinek a száma mol-ban kifejezve, és \(\displaystyle T_0\) a gáz hőmérséklete a folyamat kezdetekor (\(\displaystyle T_0=p_0V_0/nR\)). Látható, hogy a hőmérsélet-csökkenés \(\displaystyle \Delta T=T_0/2\). A belső energia csökkenésének a kiszámolásához szükségünk van az állandó térfogaton vett fajhőre. A moláris fajhőkre gázkeverékek esetén is igaz, hogy

\(\displaystyle C^{\rm (mol)}_p-C^{\rm (mol)}_V=R, \)

aminek alapján a \(\displaystyle \kappa=\frac{C^{\rm (mol)}_p}{C^{\rm (mol)}_V}\) összefüggés felhasználásával a gázkeverék \(\displaystyle C_V=nC^{\rm (mol)}_V\) teljes hőkapacitására a

\(\displaystyle C_V=\frac{nR}{\kappa-1} \)

értéket kapjuk. Eszerint a teljes belső energiacsökkenés a fentiek felhasználásával

\(\displaystyle \Delta E=C_V\Delta T=\frac{p_0V_0}{2(\kappa-1)}. \)

Jelölje \(\displaystyle v\) a tartály, \(\displaystyle u\) pedig a dugattyú sebességének nagyságát az ütközés pillanatában! (Az irányuk nyilvánvalóan ellentétes.) Az impulzus és energia megmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle Mv=mu, \)

és

\(\displaystyle \frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}mu^2=\Delta E. \)

Ezekből

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2m\Delta E}{M(M+m)}},\qquad\textrm{illetve}\qquad u=\sqrt{\frac{2M\Delta E}{m(M+m)}}. \)

A relatív sebesség

\(\displaystyle \Delta v=v+u=\sqrt{\frac{2(M+m)\Delta E}{Mm}}. \)

Adatainkkal \(\displaystyle \Delta E=300\ \textrm{J}\) és \(\displaystyle \Delta v=7{,}5\ \textrm{m/s}\).


Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Beke Bálint, Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csiszár András, Csóka Péter, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Papp Marcell Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor.
4 pontot kapott:Brezina Gergely, Chrobák Gergő, Lévai Dominik Márk, Molnár Zétény, Nemeskéri Dániel, Szabó Márton, Szabó Zsombor, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai