 |
A P. 5528. feladat (2023. december) |
P. 5528. Vízszintes, súrlódásmentesnek tekinthető talajon egy \(\displaystyle d=10~\mathrm{cm}\) oldalélű, homogén tömegeloszlású kocka csúszik \(\displaystyle v_0\) sebességgel. Egyszer csak a kocka a talajhoz csatlakozó, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű lejtőhöz ér. A lejtő és a talaj ,,törésvonala'' merőleges a kocka haladási irányára. A kocka talajjal érintkező, első oldaléle a törésvonalnál tökéletesen rugalmatlanul megakad, így a kocka megbillen. Legalább mekkora \(\displaystyle v_0\) értéke, ha a kocka elülső oldallapja ,,rábillen'' a lejtőre?
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A megbillenő kocka az ütközés után a törésvonal, mint forgástengely körül valamekkora \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel kezd el forogni. A lejtőre történő ,,ráborulás'' feltétele az, hogy \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögelfordulása után a mozgási energiája pozitív (határesetben nulla) legyen.
A homogén tömegeloszlású kocka bármelyik élére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \Theta=\frac23md^2\). (Ezt pl. a táblázatokban megtalálható tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékból a Steiner-tétel alkalmazásával kaphatjuk meg.)
Az ütközés utáni kezdeti szögsebességet a perdületmegmaradás tételének alkalmazásával határozhatjuk meg. A kocka kezdeti (a tömegközéppont mozgásából adódó) perdülete a törésvonalra vonatkoztatva \(\displaystyle mv_0d/2\), ütközés után pedig \(\displaystyle \Theta\omega\). Mivel az ütközés során fellépő erők hatásvonala a törésvonalon halad keresztül, ezek eredő forgatónyomatéka nulla, és így a perdület változatlan marad:
\(\displaystyle mv_0\frac{d}2=\frac23md^2\omega,\)
ahonnan
\(\displaystyle \omega=\frac34\frac{v_0}{d}.\)
A kocka mozgási energiája közvetlenül az ütközés után
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}\Theta\omega^2=\frac{3}{16}mv_0^2.\)
Ennek az energiának kell fedeznie a gravitációs helyzeti energia növekedését az ,,éppen átbillenés'' határesetében:
\(\displaystyle \frac{3}{16}mv_0^2\ge mg\left(\frac{\sqrt2 d }{2}-\frac{d}{2}\right).\)
Innen az átbillenéshez szükséges sebesség:
\(\displaystyle v_0>\sqrt{\frac83\left(\sqrt2-1\right)gd}\approx 1{,}04\ \frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
51 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bogdán Benedek, Csapó András, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Fekete Lúcia, Hegedüs Márk, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Sipeki Árpád, Tárnok Ede (13 versenyző). 4 pontot kapott: Seprődi Barnabás Bendegúz (1 versenyző). 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai