 |
A P. 5679. feladat (2025. november) |
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, melynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Ha végállapotban a hasáb együtt mozog a kiskocsival, akkor rugalmatlan ütközésnek tekinthetjük az esetet, amire a lendületmegmaradás így írható fel:
\(\displaystyle mv_0=(m+M)u\qquad\rightarrow\qquad u=\frac{mv_0}{m+M}.\)
Minél messzebbre jut a hasáb a kiskocsin, annál nagyobb a mechanikai energiaveszteség, ami határesetben \(\displaystyle \Delta E=-\mu mg\ell\) értékű.
\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}(m+M)u^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-\mu mg\ell\qquad\rightarrow\qquad v_0=\sqrt{\frac{2(m+M)\mu g\ell}{M}}=1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Megjegyezzük, hogy ebben a határesetben \(\displaystyle u=0{,}4\,\mathrm{m/s}\), ami azt is jelenti, hogy a kezdeti mechanikai energiának csak a harmada marad meg, kétharmad része hővé válik.
b) Ha \(\displaystyle v_1=2v_0=2{,}4\,\mathrm{m/s}\) sebességgel lökjük meg a hasábot, akkor lerepül a kiskocsiról, sebességét jelöljük \(\displaystyle v_2\)-vel, illetve a kiskocsi sebessége legyen \(\displaystyle u'\). A lendületmegmaradás így írható fel:
\(\displaystyle mv_1=mv_2+Mu'=mv_2+2mu'\qquad\rightarrow\qquad u'=\frac{v_1-v_2}{2}.\)
A mechanikai energia megváltozása a korábbihoz hasonlóan írható:
\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}(2m)u'^2-\frac{1}{2}mv_1^2=-\mu mg\ell\qquad\rightarrow\qquad v_2^2+2u'^2-v_1^2=-2\mu g\ell.\)
Ha a legutolsó egyenletbe beírjuk \(\displaystyle u'\) korábbi kifejezését, akkor \(\displaystyle v_2\)-re másodfokú egyenletet kapunk, melynek a pozitív gyöke értelmes számunkra:
\(\displaystyle v_2^2+2\left(\frac{v_1-v_2}{2}\right)^2-v_1^2+2\mu g\ell=0\qquad\rightarrow\qquad v_2=\frac{v_1+2\sqrt{v_1^2-3\mu g\ell}}{3}=2{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Végül a kiskocsi sebessége:
\(\displaystyle u'=\frac{v_1-v_2}{2}=0{,}11\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Megjegyzések. 1. A feladatot dinamikai és kinematikai egyenletek felírásával is megoldhatjuk.
2. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben a hasáb lerepül a kiskocsiról, akkor a mechanikai energiaveszteség független attól, hogy mekkora sebességgel lökjük meg a hasábot. Ugyancsak azonos a hasábra, illetve a kiskocsira ható súrlódási erő, továbbá a testek gyorsulása sem függ a meglökés sebességétől. Azonban a súrlódási erő okozta erőlökés függ a meglökési sebességtől, mert minél nagyobb az indulási sebesség, annál kisebb lesz az átfutási idő. Ebből az is következik, hogy igen nagy kezdősebességek esetén elhanyagolhatóan kicsi lesz a hasáb sebességváltozása, valamint alig szerez sebességet a kiskocsi. (Még a feladat nem túl nagy kezdősebességéből számított numerikus végeredményei is ezt támasztják alá.)
Statisztika:
41 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bense Tamás, Borsics Bendegúz, Bús László Teodor, Csáti Ambrus, Elekes Panni, Fuchs Vince, Gombos Barna, Hajdu Eszter, Halmosi Dávid, Horváth Zsombor, Kádár Luca Linda, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Mi Feiyu, Misik Balázs, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Szabó Tamás, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zhao Aaron . 3 pontot kapott: Blaskovics Ádám, Ferencz Kevin, Mezei Marcell, Molnár Lili, Murányi Nimród Máté, Winhoffer Júlia. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2025. novemberi fizika feladatai