 |
A P. 5697. feladat (2026. január) |
P. 5697. Egy tűzijáték során ugyanarról a helyről, ugyanakkora kezdősebességgel mindenféle irányban lövedékeket lőnek ki, amelyek a pályájuk tetőpontjánál erős fényfelvillanást hoznak létre. Milyen felület mentén helyezkednek el a felvillanó pontok?
A légellenállást hanyagoljuk el.
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Határozzuk meg a vízszinteshez képest \(\displaystyle \alpha\) szögben \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel kilőtt lövedék pályájának tetőpontját, annak a kilövés helyétől vízszintes irányban mért \(\displaystyle x\), illetve függőleges irányban mért \(\displaystyle y\) nagyságú koordinátáit.
A mozgás függőleges irányban egyenletesen lassuló, vízszintes irányban egyenletes. A függőleges mozgás \(\displaystyle v_0\sin\alpha\) kezdősebessége \(\displaystyle t=\frac{v_0\sin\alpha}{g}\) idő alatt csökken nullára, az emelkedés magassága tehát
\(\displaystyle y=v_0t\sin\alpha-\frac{g}{2}t^2=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\)
A lövedék vízszintes irányú elmozdulása \(\displaystyle t\) idő alatt
\(\displaystyle x=v_0t\cos\alpha=\frac{v_0^2}{g}\sin\alpha\,\cos\alpha.\)
Ha a \(\displaystyle v_0^2/(2g)\) távolságot (ami éppen a függőlegesen kilőtt lövedék emelkedési magassága) \(\displaystyle H\)-val jelöljük, akkor a különböző \(\displaystyle \alpha\) szögekhez tartozó, de azonos függőleges síkban található pályák tetőpontjainak koordinátái így írhatók fel:
\(\displaystyle x=H\sin2\alpha \qquad \text{és}\qquad y=\frac{H}{2}(1-\cos2\alpha).\)
Innen \(\displaystyle \alpha\) kiküszöbölése után kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{x^2}{H^2}+\frac{(y-H/2)^2}{(H/2)^2}=1.\)
Ez egy olyan ellipszis egyenlete, amelynek (vízszintes) nagytengelye \(\displaystyle 2H\), (függőleges) kistengelye \(\displaystyle H\), és a középpontja \(\displaystyle H/2\) magasan van a kilövés helye fölött.
Amennyiben a lövedékek pályájának függőleges síkja bármilyen helyzetű lehet, a felvillanási pontok egy forgási ellipszoid felületén helyezkednek el, amely a fentebb megadott ellipszisnek az \(\displaystyle y\) tengely körüli megforgatásából kapható.
Statisztika:
A P. 5697. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári fizika feladatai