A P. 5698. feladat (2026. január)

P. 5698. Vízszintes talajon csörlő segítségével emelnek levegőbe egy kétüléses, \(\displaystyle M\) tömegű vitorlázó repülőgépet, amelyet egy hosszú, \(\displaystyle D\) rugóállandójú, \(\displaystyle m\) tömegű vontatókötél köt össze a csörlővel. A vontatás megkezdésekor a gyorsulás nagysága \(\displaystyle a\), miközben a kötél súrlódik a füves talajon, ahol a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\). Számítsuk ki, mennyire nyúlik meg a vízszintes helyzetű drótkötél röviddel a gép megmozdulása után!

Adatok: \(\displaystyle m=150~\mathrm{kg}\), \(\displaystyle M=400~\mathrm{kg}\), \(\displaystyle a=3~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\), \(\displaystyle D=2500~\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\), \(\displaystyle \mu=0{,}15\).

Közli: Németh László, Fonyód

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a vitorlázó repülőgép és az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú vontatókötél \(\displaystyle x\) hosszúságú elülső darabjából álló rendszer mozgásegyenletét. A kötéldarab tömege \(\displaystyle \frac{x}{\ell}m\), a rá ható súrlódási erő \(\displaystyle \frac{x}{\ell}mg\mu\), a kötél többi része által kifejtett húzóerő pedig \(\displaystyle F(x)\). Newton második törvénye szerint

\(\displaystyle F(x)-\frac{x}{\ell}mg\mu=\left(M +\frac{x}{\ell}m\right)a,\)

vagyis

\(\displaystyle F(x)=Ma+\frac{x}{\ell}m(\mu g+a).\)

(Feltételeztük, hogy a keréken gördülő vitorlázó repülőgépre ható fékezőerő nem számottevő, elhanyagolható.)

Látható, hogy a vontatókötelet feszítő erő \(\displaystyle x\) lineáris függvénye, egyenletesen változik a legkisebb

\(\displaystyle F_\mathrm{min}=F(0)=Ma=1200\,\mathrm{N},\)

és a legnagyobb

\(\displaystyle F_\mathrm{max}=F( \ell)=Ma+m(\mu g+a)=1871\,\mathrm{N}\)

érték között.

A kötél megnyúlását az átlagos

\(\displaystyle F_\textrm{átlag}=\frac{F_\mathrm{min}+F_\mathrm{max}}{2}=1536\,\mathrm{N}\)

erőből számolhatjuk ki a Hooke-törvény felhasználásával:

\(\displaystyle \Delta\ell=\frac{F_\textrm{átlag}}{D}=\frac{1536\,\mathrm{N}}{2500\,\mathrm{N/m}}\approx 0{,}61\,\mathrm{m}=61\,\mathrm{cm}.\)

Statisztika:

A P. 5698. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári fizika feladatai