 |
A P. 5699. feladat (2026. január) |
P. 5699. Egy mesterséges hold az Egyenlítő síkjában, a felszín fölött állandó \(\displaystyle 4\) földsugárnyi magasságban, a Föld forgásirányában köröz bolygónk körül.
a) Mekkora a mesterséges hold keringési ideje?
b) Hány naponként halad át a mesterséges hold az Egyenlítő egy kiszemelt pontja fölött?
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.
Megoldás. a) A műhold 4 Föld-sugárnyi (\(\displaystyle R_\mathrm{F}\)) magasságban kering a felszín felett, azaz pályasugara \(\displaystyle r=5R_\mathrm{F}\). A körpályán mozgó \(\displaystyle m\) tömegű műhold mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle m\omega^2r=\frac{\gamma mM_\mathrm{F}}{r^2},\) |
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M_\mathrm{F}\) a Föld tömege és \(\displaystyle \omega\) a műhold keresett szögsebessége. Felhasználhatjuk, hogy a Föld felszínén a nehézségi gyorsulás \(\displaystyle g\), ekkor (elhanyagolva a Föld forgásából származó korrekciót):
\(\displaystyle g=\frac{\gamma M_\mathrm{F}}{R_\mathrm{F}^2},\)
amiből
\(\displaystyle \gamma M_\mathrm{F}=gR_\mathrm{F}^2.\)
Ezt, valamint \(\displaystyle r\) értékét behelyettesítve az (1) egyenletbe:
\(\displaystyle \omega^2=\frac{gR_\mathrm{F}^2}{125R_\mathrm{F}^3}=\frac{1}{125}\,\frac{g}{R_\mathrm{F}}.\)
Amiből a keresett keringési idő:
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{125\frac{R_\mathrm{F}}{g}}\approx 15{,}7\,\textrm{óra}.\)
b) Mialatt a műhold \(\displaystyle n+1\) fordulatot tesz a Föld körül, a Föld \(\displaystyle n\)-szer fordul meg a tengelye körül:
\(\displaystyle (n+1)T=nT_\mathrm{F},\)
ahol \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\mathrm{nap}\). Ebből
\(\displaystyle n=\frac{T}{T_\mathrm{F}-T}\approx 1{,}9,\)
tehát a műhold körülbelül 1,9 naponként halad el az Egyenlítő egy kiszemelt pontja felett.
Megjegyzés. A feladat megoldásában több kisebb közelítést is alkalmaztunk, de már a feladat szövegében is van némi bizonytalanság: az Egyenlítő felett ,,4 Föld-sugárnyi'' magasság átlagos vagy egyenlítői Föld-sugarat jelent?
A megoldásban mindenhol átlagos Föld-sugárral számoltunk. Elhanyagoltuk a nehézségi gyorsulásban a gravitációs erő mellett a forgó Földön figyelembe vett centrifugális erőt, a budapesti \(\displaystyle g=9{,}81\mathrm{m/s^2}\) értéket helyettesítettük be. A közelítések miatt azzal se foglalkoztunk, hogy a Föld nem 1 nap, hanem 23 óra 56 perc 4 másodperc alatt fordul körbe.
Statisztika:
A P. 5699. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári fizika feladatai