 |
A P. 5699. feladat (2026. január) |
P. 5699. Egy mesterséges hold az Egyenlítő síkjában, a felszín fölött állandó \(\displaystyle 4\) földsugárnyi magasságban, a Föld forgásirányában köröz bolygónk körül.
a) Mekkora a mesterséges hold keringési ideje?
b) Hány naponként halad át a mesterséges hold az Egyenlítő egy kiszemelt pontja fölött?
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.
Megoldás. a) A műhold 4 Föld-sugárnyi (\(\displaystyle R_\mathrm{F}\)) magasságban kering a felszín felett, azaz pályasugara \(\displaystyle r=5R_\mathrm{F}\). A körpályán mozgó \(\displaystyle m\) tömegű műhold mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle m\omega^2r=\frac{\gamma mM_\mathrm{F}}{r^2},\) |
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M_\mathrm{F}\) a Föld tömege és \(\displaystyle \omega\) a műhold keresett szögsebessége. Felhasználhatjuk, hogy a Föld felszínén a nehézségi gyorsulás \(\displaystyle g\), ekkor (elhanyagolva a Föld forgásából származó korrekciót):
\(\displaystyle g=\frac{\gamma M_\mathrm{F}}{R_\mathrm{F}^2},\)
amiből
\(\displaystyle \gamma M_\mathrm{F}=gR_\mathrm{F}^2.\)
Ezt, valamint \(\displaystyle r\) értékét behelyettesítve az (1) egyenletbe:
\(\displaystyle \omega^2=\frac{gR_\mathrm{F}^2}{125R_\mathrm{F}^3}=\frac{1}{125}\,\frac{g}{R_\mathrm{F}}.\)
Amiből a keresett keringési idő:
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{125\frac{R_\mathrm{F}}{g}}\approx 15{,}7\,\textrm{óra}.\)
b) Mialatt a műhold \(\displaystyle n+1\) fordulatot tesz a Föld körül, a Föld \(\displaystyle n\)-szer fordul meg a tengelye körül:
\(\displaystyle (n+1)T=nT_\mathrm{F},\)
ahol \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\mathrm{nap}\). Ebből
\(\displaystyle n=\frac{T}{T_\mathrm{F}-T}\approx 1{,}9,\)
tehát a műhold körülbelül 1,9 naponként halad el az Egyenlítő egy kiszemelt pontja felett.
Megjegyzés. A feladat megoldásában több kisebb közelítést is alkalmaztunk, de már a feladat szövegében is van némi bizonytalanság: az Egyenlítő felett ,,4 Föld-sugárnyi'' magasság átlagos vagy egyenlítői Föld-sugarat jelent?
A megoldásban mindenhol átlagos Föld-sugárral számoltunk. Elhanyagoltuk a nehézségi gyorsulásban a gravitációs erő mellett a forgó Földön figyelembe vett centrifugális erőt, a budapesti \(\displaystyle g=9{,}81\mathrm{m/s^2}\) értéket helyettesítettük be. A közelítések miatt azzal se foglalkoztunk, hogy a Föld nem 1 nap, hanem 23 óra 56 perc 4 másodperc alatt fordul körbe.
Statisztika:
42 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Békési Máté, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csáti Ambrus, Ferencz Kevin, Halmosi Dávid, Hornyák Zalán Zétény, Horváth Péter, Kádár Luca Linda, Kávrán-Kőnig Balázs, Kirschner Bálint, Kovács Dániel, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Murányi Nimród Máté, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Rem Dániel, Simon János Dániel, Sipeki Andor, Szécsi Bence, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Vincze Anna, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: Chen Yu, Fuchs Vince. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. januári fizika feladatai