A P. 5700. feladat (2026. január)

P. 5700. A legenda szerint Dido, Türosz hercegnője, miután menekülni kényszerült hazájából, Észak-Afrikába érkezett, ahol a helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit egy ökörbőrrel körbe tud keríteni. Az uralkodó beleegyezett, mire Dido hosszú, keskeny csíkra vágta a bőrt, amiből kerítést készített, majd a lehető legnagyobb földterületet választotta le a tengerpart mentén, megalapítva Karthágó városát.

A történet egy kevésbé ismert változata szerint Dido hajózásai során egy 1 km sugarú, kör alakú szigeten kötött ki, valahol a Földközi-tengeren. Legfeljebb mekkora földterületet tudott leválasztani, ha a kerítésének hossza 1 km volt?

Dido a kettéosztott sziget kisebb területrészét tekinthette sajátjának.

Közli: Vigh Máté, Herceghalom

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A feladat megoldásában komoly segítséget nyújt egy a felületi feszültség jelenségével összefüggő analógia. Tekintsünk egy vékony gyűrűt, amelyben szappanhártya feszül, és ezt a szappanhártyát egy olyan adott hosszúságú fonal osztja két részre, amelynek a végei a gyűrű mentén szabadon mozoghatnak. Ha kiszúrjuk a hártya kisebb felét, a fonalat a felületi feszültség úgy mozdítja el, hogy a hártya felülete a lehető legkisebb, következésképp a hártya mentes rész a lehető legnagyobb legyen. A jelenséget ismerve tudjuk, hogy ilyenkor a fonal alakja egy olyan körív, amely a gyűrűhöz arra merőlegesen érkezik. (Ez egyrészt abból következik, hogy a fonálra ható feszültség (hosszegységre jutó erő) a fonal mentén állandó, és a fonálra merőlegesen hat, így egyensúlyban a fonálban ható erő és a fonal görbületi sugara állandó, másrészt ha a fonál a gyűrűt nem merőlegesen érné el, akkor elmozdulna.) Ennek megfelelően a szigetből legnagyobb részt lehasító kerítés is körív alakú, és a végein merőleges a sziget partjára, ahogy az ábra mutatja. Ezen \(\displaystyle R\)-rel jelöltük a sziget sugarát, \(\displaystyle r\)-rel a kerítését, \(\displaystyle \ell\)-lel a kerítés hosszát és \(\displaystyle \varphi\)-vel a kerítés ívéhez tartozó középponti szög felét.

Ennek alapján meg tudjuk határozni az ismeretlen \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \varphi\) változókat:

\(\displaystyle \varphi=\frac{\ell}{2r},\)

illetve

\(\displaystyle \tg\varphi=\frac{R}{r}.\)

Ez az egyenletrendszer \(\displaystyle \varphi\)-re a

\(\displaystyle \varphi=\frac{\ell}{2R}\tg\varphi\)

egyenletet adja, aminek a numerikus megoldása \(\displaystyle \ell=R(=1\,\mathrm{km})\) esetén \(\displaystyle \varphi=1{,}166\) radián (ez \(\displaystyle 66{,}78^\circ\)).

Megjegyzés. Az ilyen típusú egyenletek megoldására lapunk 2025. novemberi számában található egy igen egyszerű algoritmus (Egy egyszerű egyenletmegoldó eljárás). Az ott leírtaknak megfelelően az egyenletünk

\(\displaystyle \varphi=\arctg 2\varphi\)

alakjából érdemes kiindulni. A

\(\displaystyle \varphi_{n+1}=\arctg 2\varphi_n\)

képzési szabállyal generált sorozat elemei bármilyen pozitív számmal indítva nagyon gyorsan megközelítik a megoldás értékét.

A kerítés ívének a sugara \(\displaystyle r=0{,}429\,\mathrm{km}\).

A levágott rész területe két körszelet területéből tevődik össze, az egyik sugara és központi szöge \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle 2\varphi\), a másiknak ugyanezek az adatai \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle \pi-2\varphi\), így

\(\displaystyle T=r^2\left(\varphi-\frac{sin2\varphi}{2}\right)+R^2\left(\frac{\pi}{2}-\varphi-\frac{sin(\pi-2\varphi)}{2}\right).\)

Az adatokat behelyettesítve \(\displaystyle T=0{,}191\,\mathrm{km^2}\).

Statisztika:

A P. 5700. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári fizika feladatai