 |
A P. 5702. feladat (2026. január) |
P. 5702. Egy rézcsövet kör alakúra hajlítunk, és a végeit összeforrasztjuk, vagyis belül üres, rézfalú tóruszt készítünk. Mekkora az elektromos térerősség a rézcső belsejében és a falának anyagában, ha egy elegendően hosszú, egyenes tekercs áramát időben egyenletesen változtatjuk, és a rézcsövet az ábra szerint
a) a tekercs mellé,
b) a tekerccsel koaxiálisan
helyezzük el?
c) Mekkora az elektromos térerősség a rézcső falában az előző helyzetben, ha a csövet valahol elfűrészeltük?
A tekercs áramellátását úgy oldottuk meg, hogy sem a hozzávezető kábelek, sem a szolenoid hossztengelye mentén (a menetemelkedés miatt) fellépő eredő áram mágneses hatása ne érvényesülhessen. (Pl. az áramellátást egy koaxiális kábel biztosítja, a szolenoid pedig dupla, azonos forgásirány mellett oda-vissza tekercselésű.)
Közli: Holics László (1931–2025), Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Először meghatározzuk a tekercsen átmenő fluxus változása miatt a tekercs környezetében kialakuló elektromos teret. Ha a tekercs árama \(\displaystyle I(t)\), a hosszegységre jutó menetek száma \(\displaystyle n=N/\ell\), a keresztmetszete pedig \(\displaystyle A\) akkor a benne lévő mágneses indukció értéke:
\(\displaystyle B=\mu_0nI(t),\)
a fluxus pedig:
\(\displaystyle \Phi=\mu_0nI(t)A,\)
aminek a változási üteme:
\(\displaystyle \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\mu_0n\dot{I}A.\)
Itt \(\displaystyle \dot{I}=\Delta I/\Delta t\) az \(\displaystyle I\) változási sebessége, ami a feladatunk szerint állandó. Ennek hatására az elrendezés henger-szimmetriája miatt olyan elektromos mező indukálódik, aminek az erővonalai a tekercs tengelyére merőleges síkokban fekvő koncentrikus körök, amelyek középpontja a tekercs tengelyére esik. Egy-egy ilyen kör mentén az elektromos térerősség állandó, és fennáll:
\(\displaystyle \sum E\Delta s=2\pi rE=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t},\)
amiből
\(\displaystyle E(r)=-\frac{\mu_0n\dot{I}A}{2\pi r}.\)
Itt a \(\displaystyle -\) előjel arra utal, hogy ha a \(\displaystyle B\) számára a fölfelé irányt tekintjük pozitívnak, és \(\displaystyle \Phi\) nő, akkor az \(\displaystyle E\) iránya az óramutató járásának megfelelő (ahogy azt a Lenz-törvény megkívánja).
a) Ha a gyűrű alakú rézcsövet a szolenoid mellé helyezünk, akkor a cső falában az eredő elektromotoros erő nulla, mert a gyűrű nem vesz körbe változó mágneses fluxust, ennek megfelelően a cső falában nem folyhat áram. Ez úgy lehetséges, hogy a cső külső falán olyan vékony töltésréteg alakul ki, aminek a tere pont kompenzálja cső falában az indukált elektromos teret. Viszont ha az önmagába zárt cső falában nincs elektromos tér, külön odavitt töltés nélkül a belsejében sem lehet, tehát mind a cső falában, mind a cső belsejében az elektromos tér nulla.
b) Ha a réz falú tóruszunkat a szolenoiddal koaxiálisan helyezzük el, mind a cső falában, mind pedig a belsejében mindenhol akkora a térerősség, amekkora a cső odahelyezése nélkül lenne. A különbség annyi, hogy most a csőfalban mindenhol az ott érvényes \(\displaystyle E(r)\)-nek megfelelő \(\displaystyle j=\sigma E(r)\) áramsűrűségű áram folyik (ahol \(\displaystyle \sigma\) a réz vezetőképessége). Nincs olyan erő, amely a cső falában bárhol az elektromos teret megváltoztató statikus töltésfelhalmozást tudna létrehozni, hisz az indukált elektromos tér mindenhol a cső aktuális érintője mentén hajtja az áramot.
c) Ha a csövet elfűrészeljük valahol, akkor a cső falában nem folyhat áram. Most is a cső falának felületén (ami most a fűrészelésnél kialakult homlokfelületet és a cső belső felületét is jelenti) olyan töltésréteg alakul ki, amely a csőfal anyagában kompenzálja az eredeti elektromos teret, tehát magában a csőfalban a térerősség értéke nulla. Mivel ebben az esetben a külső tér és a cső belseje összefüggenek, a fűrészelés helyének a közelében a cső belsejében (nem a falában!) is kialakul egy szórt elektromos tér.
Megjegyzés. Az a) és az c) esetben az a közös, hogy egyik esetben sem tudunk olyan, végig a cső falában (fém anyagában) futó zárt görbét kitűzni, amely a tekercs változó fluxusát körbefogná. Ennek megfelelően minden, a fémben futó zárt görbe mentén az eredő elektromotoros erő nulla:
\(\displaystyle \sum E\Delta s=0,\)
azaz az adott görbe mentén nem folyhat áram. Ebből következik, hogy a térerősségnek mindenhol nullának kell lennie, ahol ez nem teljesülne, olyan töltéselmozdulást hozna létre, ami ellene hatna. Ez ugyanaz a mechanizmus, ami miatt a statikus töltések tere leárnyékolódik a fémek belsejében.
Statisztika:
A P. 5702. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. januári fizika feladatai