A P. 5703. feladat (2026. január)

P. 5703. Egy \(\displaystyle 2\) milliméteres fosszíliát merőlegesen a tisztánlátás távolságából, \(\displaystyle 25\) cm-ről szemlélünk. Ennél közelebbről nézve szabad szemmel nem látnánk élesen.

a) Mekkora szög alatt látjuk a fosszíliát nagyító nélkül?

b) Azért, hogy jobban lássuk az ősmaradvány részleteit, egy \(\displaystyle 5~\mathrm{cm}\) gyújtótávolságú vékony nagyítón át nézzük azt. Mekkora szög alatt látjuk a fosszíliát, ha a nagyító \(\displaystyle 3~\mathrm{cm}\)-re, a szemünk pedig \(\displaystyle 25~\mathrm{cm}\)-re van a tárgytól?

c) A nagyítót helyezzük a lehető legközelebb a szemünkhöz. Mekkora maximális szög alatt láthatjuk a fosszíliát nagyítóval, ha a tárgy és a szemünk távolságát szabadon változtathatjuk?

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás. a) A fosszíliát kis \(\displaystyle \varphi\) szög alatt látjuk, \(\displaystyle \varphi\ll 1\), melynek értéke jó közelítéssel

\(\displaystyle \varphi\approx\frac{2\,\mathrm{mm}}{25\,\mathrm{cm}}=0{,}008=0{,}46^\circ.\)

b) Az \(\displaystyle f=5\,\mathrm{cm}\) fókusztávolságú nagyító megadott pozíciója esetén a tárgytávolság \(\displaystyle t=3\,\mathrm{cm}\). A képtávolságot pedig a leképezési törvényből számíthatjuk ki:

\(\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\quad\rightarrow\quad k=\frac{tf}{t-f}=-7{,}5\,\mathrm{cm}.\)

A virtuális kép a szemünktől \(\displaystyle 25\,\mathrm{cm}-3\,\mathrm{cm}+7{,}5\,\mathrm{cm}=29{,}5\,\mathrm{cm}\) távolságra keletkezett. A lineáris nagyítás, azaz a kép és a tárgy méretének aránya pedig \(\displaystyle N=-\frac{k}{t}=\frac{7{,}5\,\mathrm{cm}}{3\,\mathrm{cm}}=2{,}5.\) A kép a tárggyal azonos állású. A fosszíliát ebben az esetben

\(\displaystyle \varphi_b\approx\frac{2{,}5\cdot 2\,\mathrm{mm}}{29{,}5\,\mathrm{cm}}=0{,}0169=0{,}97^\circ\)

szög alatt látjuk, mely 2,1-szeres szögnagyításnak felel meg.

c) Ebben a feladatrészben a tárgyat csak akkor láthatjuk, ha a nagyító virtuális képet állít elő. Ha a fosszíliát \(\displaystyle t\) távolságra helyezzük a lencsétől, akkor a képtávolság \(\displaystyle k=tf/(t-f)\). A virtuális kép távolsága a szemünktől pedig \(\displaystyle -k\). A kép lineáris nagyítása \(\displaystyle N=-k/t\). A fosszíliát így

\(\displaystyle \varphi_c\approx\frac{N\cdot 2\,\mathrm{mm}}{-k}=\frac{2\,\mathrm{mm}}{t}\)

szög alatt látnánk. Ez a kifejezés annál nagyobb, minél kisebbnek választjuk a tárgytávolságot. Viszont egy alsó korlátot ad az, hogy a szemünk csak a legalább 25 cm távolságban lévő képre tud tisztán fókuszálni. Ha a kép éppen 25 cm távolságra van a szemünktől, \(\displaystyle k=-25\,\mathrm{cm}\), akkor az ehhez tartozó tárgytávolság \(\displaystyle t=kf/(k-f)=4{,}17\,\mathrm{cm}\). Ehhez az értékhez tartozik a maximális szög:

\(\displaystyle \varphi_c\approx\frac{2\,\mathrm{mm}}{4{,}17\,\mathrm{cm}}=0{,}048=2{,}75^\circ,\)

amely éppen 6-szoros szögnagyításnak felel meg.

Statisztika:

A P. 5703. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári fizika feladatai