 |
A P. 5707. feladat (2026. február) |
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_\mathrm{max}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A bicikli sebességtartományában a – fékeken kívül – elsősorban a légellenállás fékezi a biciklist. (Sima úton, jól felfújt gumikkal a gördülési ellenállás emellett elhanyagolható.) A közegellenállásból eredő fékezőerő a sebesség négyzetével arányos:
\(\displaystyle F_\mathrm{k}=kv^2,\)
ahol \(\displaystyle k\) egy, a bicikli és a biciklis méreteitől és alakjától, valamint a levegő sűrűségétől függő állandó. A feladatban szereplő határsebesség alapján:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mg\sin\alpha=kv_\mathrm{max}^2,\) |
hiszen ezen a sebességen a légellenállás épp egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével.
Ha Eduárd \(\displaystyle v<v_\mathrm{max}\) állandó sebességgel akar gurulni, akkor a biciklit \(\displaystyle F_\mathrm{f}\) erővel fékeznie kell. Ebben az esetben az erőegyensúly:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_\mathrm{f},\)
amiből (1) felhasználásával:
\(\displaystyle F_\mathrm{f}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right).\)
A féken disszipálódó teljesítmény:
\(\displaystyle P_\mathrm{f}=F_\mathrm{f}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right)v=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^3\right).\)
A függvényt az ábrán látható \(\displaystyle P_\mathrm{f}\,(v)\) grafikonon ábrázoltuk.
Megjegyzés. Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_\mathrm{max}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle P_\mathrm{f}=F_\mathrm{f}\,v\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_\mathrm{f}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
$$\begin{gather*} P_\mathrm{f}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^3\right),\\ \frac{\mathrm{d}P_\mathrm{f}}{\mathrm{d}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(1-3\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right)=0,\\ \left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)_\mathrm{max}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577,\\ P_\mathrm{f\,max}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\,mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\approx 0{,}385\cdot mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}. \end{gather*}$$Statisztika:
A P. 5707. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai