 |
A P. 5707. feladat (2026. február) |
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_\mathrm{max}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A bicikli sebességtartományában a – fékeken kívül – elsősorban a légellenállás fékezi a biciklist. (Sima úton, jól felfújt gumikkal a gördülési ellenállás emellett elhanyagolható.) A közegellenállásból eredő fékezőerő a sebesség négyzetével arányos:
\(\displaystyle F_\mathrm{k}=kv^2,\)
ahol \(\displaystyle k\) egy, a bicikli és a biciklis méreteitől és alakjától, valamint a levegő sűrűségétől függő állandó. A feladatban szereplő határsebesség alapján:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mg\sin\alpha=kv_\mathrm{max}^2,\) |
hiszen ezen a sebességen a légellenállás épp egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével.
Ha Eduárd \(\displaystyle v<v_\mathrm{max}\) állandó sebességgel akar gurulni, akkor a biciklit \(\displaystyle F_\mathrm{f}\) erővel fékeznie kell. Ebben az esetben az erőegyensúly:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_\mathrm{f},\)
amiből (1) felhasználásával:
\(\displaystyle F_\mathrm{f}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right).\)
A féken disszipálódó teljesítmény:
\(\displaystyle P_\mathrm{f}=F_\mathrm{f}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right)v=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^3\right).\)
A függvényt az ábrán látható \(\displaystyle P_\mathrm{f}\,(v)\) grafikonon ábrázoltuk.
Megjegyzés. Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_\mathrm{max}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle P_\mathrm{f}=F_\mathrm{f}\,v\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_\mathrm{f}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
$$\begin{gather*} P_\mathrm{f}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}-\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^3\right),\\ \frac{\mathrm{d}P_\mathrm{f}}{\mathrm{d}\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(1-3\left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)^2\right)=0,\\ \left(\frac{v}{v_\mathrm{max}}\right)_\mathrm{max}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577,\\ P_\mathrm{f\,max}=mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}}\,mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}\approx 0{,}385\cdot mg\sin\alpha\,v_\mathrm{max}. \end{gather*}$$Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bense Tamás, Bogdán Balázs Ákos, Ferencz Kevin, Gombos Barna, Horváth Péter, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Vincze Anna, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: Blaskovics Ádám, Borsics Bendegúz, Wolf Erik, Zhao Aaron . 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai