 |
A P. 5708. feladat (2026. február) |
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén. Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
I. megoldás. A mozgásegyenletek az 1. ábra jelöléseit használva írjuk fel.
1. ábra
Az \(\displaystyle m\) tömegű mozgócsiga és a \(\displaystyle 2m\) tömegű test közös gyorsulása:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 3ma_1=3mg-K_1-K_2.\) |
A mozgó- és az állócsiga szöggyorsulása:
$$\begin{gather*} \Theta\beta_1=(K_1-K_2)r,\tag{2}\\ \Theta\beta_2=(K_2-K_3)r,\tag{3} \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mr^2\). Az asztalon mozgó test vízszintes gyorsulása és függőleges erőegyensúlya:
$$\begin{gather*} ma_2=K_3-S,\tag{4}\\ N=mg.\tag{5} \end{gather*}$$A mozgási súrlódási erő:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle S=\mu N,\) |
ahol \(\displaystyle \mu=0{,}5\). Kényszerfeltételek: a mozgócsiga fele akkora gyorsulással mozog, mint a róla letekeredő fonál:
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle a_2=2a_1,\) |
és a fonalak nem csúsznak meg a csigákon:
$$\begin{gather*} a_1=r\beta_1,\tag{8}\\ a_2=r\beta_2.\tag{9} \end{gather*}$$A (7)-(9) kényszerfeltételeket, \(\displaystyle \Theta\) kifejezését, valamint az (5)-(6) egyenletek és \(\displaystyle \mu\) értéke alapján \(\displaystyle S\) kifejezését felhasználva az (1)-(4) egyenletek így írhatók át:
$$\begin{gather*} 3ma_1=3mg-K_1-K_2,\\ \frac{1}{2}ma_1=K_1-K_2,\\ ma_1=K_2-K_3,\\ 2ma_1=K_3-\frac{1}{2}mg. \end{gather*}$$A lineáris egyenletrendszert megoldva a számunkra szükséges kötélerők:
$$\begin{gather*} K_2=\frac{43}{38}mg,\\ K_3=\frac{35}{38}mg.\\ \end{gather*}$$Az állócsigára ható erők egyensúlya alapján az \(\displaystyle F\) erő vízszintes és függőleges komponensének nagysága:
$$\begin{gather*} F_x=K_3=\frac{35}{38}mg,\\ F_y=mg+K_2=\frac{81}{38}mg, \end{gather*}$$amiből a keresett kényszererő nagysága:
\(\displaystyle F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\frac{\sqrt{35^2+81^2}}{38}\,mg\approx 2{,}32\cdot mg,\)
a függőlegessel bezárt szöge pedig:
\(\displaystyle \varphi=\arctg\frac{F_x}{F_y}=\arctg\frac{35}{81}\approx 23{,}4^\circ.\)
II. megoldás. A testek gyorsulását a munkatétellel is meghatározhatjuk. Az elengedés után \(\displaystyle t\) idővel a testek 2. ábrán jelölt elmozdulása, sebessége és szögsebessége:
$$\begin{gather*} s_1=\frac{1}{2}a_1t^2,\qquad s_2=\frac{1}{2}a_2t^2,\\ v_1=a_1t,\qquad v_2=a_2t,\\ \omega_1=\beta_1t,\qquad \omega_2=\beta_2t. \end{gather*}$$Az I. megoldásban felírt kényszerfeltételek alapján:
$$\begin{gather*} 2a_1=a_2,\\ r\omega_1=v_1,\qquad r\omega_2=v_2. \end{gather*}$$
2. ábra
A munkatétel alapján, \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle \Theta\) kifejezését, valamint \(\displaystyle \mu\) értékét is felhasználva az asztalon csúszó test gyorsulása:
$$\begin{gather*} \Delta E_\mathrm{h}-W_\mathrm{s}=\Delta E_\mathrm{m},\\ 3mgs_1-\mu mgs_2=\frac{1}{2}\cdot 3mv_1^2+\frac{1}{2}\Theta\omega_1^2+\frac{1}{2}\Theta\omega_2^2+\frac{1}{2}mv_2^2,\\ \frac{3}{4}mga_2t^2-\frac{1}{4}mga_2t^2=\frac{3}{8}ma_2^2t^2+\frac{1}{16}ma_2^2t^2+\frac{1}{4}ma_2^2t^2+\frac{1}{2}ma_2^2t^2,\\ \frac{1}{2}ga_2t^2=\frac{19}{16}a_2^2t^2,\\ a_2=\frac{8}{19}g. \end{gather*}$$Ebből már a (4) és (3) mozgásegyenletek alapján:
$$\begin{gather*} K_3=ma_2+S=ma_2+\mu mg=\frac{35}{38}mg,\\ K_2=K_3+\frac{\Theta\beta_2}{r}=K_3+\frac{1}{2}ma_2=\frac{43}{38}mg, \end{gather*}$$az előző megoldással egyezően. Innentől a megoldás megegyezik az I. megoldás végével.
Statisztika:
A P. 5708. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai