 |
A P. 5709. feladat (2026. február) |
P. 5709. 2025. májusában a Korond patak vize elöntötte a parajdi sóbányát. A híradások szerint kb. ötmillió tonna víz került be a bánya rendszerébe.
Modellezzük a bányát egy, a beömlő víz térfogatával megegyező térfogatú, \(\displaystyle a\) sugarú üres gömbbel, amely éppen érinti a Föld felszínét. Az érintési pont a bánya bejárata. Becsüljük meg, hogy a bánya elöntése során mennyivel térült volna el egy, a Föld felszínén, a bánya bejáratától \(\displaystyle 2a\) távolságra elhelyezett függőón iránya!
Közli: Cserti József, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Az ,,elrendezést'' az ábra mutatja.
A kérdéses \(\displaystyle P\) pontban (a bánya modellbeli bejáratától \(\displaystyle 2a\) távolságra) a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás vízbetörés előtti irányát tekintjük függőlegesnek, értelemszerűen az erre merőleges sík a vízszintes. A bánya elöntése után a bányába ömlött víz hatásara a függőleges \(\displaystyle g\)-hez egy a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=\arctg\tfrac{1}{2}\) szöget bezáró \(\displaystyle \Delta g\) komponens adódik, aminek a nagysága
\(\displaystyle \Delta g=\frac{\gamma M}{5a^2},\)
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, és \(\displaystyle M\) a beömlött víz tömege. Ennek a \(\displaystyle \Delta g\cos\varphi\) nagyságú vízszintes komponense téríti ki a függőónt az eredeti helyzetéből. A kitérítés szöge
\(\displaystyle \vartheta=\frac{\Delta g\cos\varphi}{g}=\frac{2\gamma M}{5\sqrt{5}a^2g}.\)
Itt alkalmaztuk a kicsiny szögekre érvényes \(\displaystyle \vartheta\simeq\tg\vartheta\) összefüggést, és \(\displaystyle g\) mellett elhanyagoltuk a \(\displaystyle \Delta g\) függőleges komponensét. Mivel \(\displaystyle M=\tfrac{4a^3\pi}{3}\varrho_\mathrm{v}\), (ahol \(\displaystyle \varrho_\mathrm{v}\) a víz sűrűsége) az összes adat ismert és \(\displaystyle \vartheta\) kiszámítható, de érdemes a képletünket úgy átalakítani, hogy csak azonos dimenziójú mennyiségek hányadosát tartalmazza. Erre több lehetőség is van, az egyik az, hogy \(\displaystyle g\) értékét a Föld \(\displaystyle R\) sugarával és \(\displaystyle \varrho_\mathrm{F}\) átlagos sűrűségével fejezzük ki:
\(\displaystyle g=\frac{\gamma 4\pi R\varrho_\mathrm{F}}{3}.\)
Ezt és \(\displaystyle M\) \(\displaystyle a\)-val kifejezett értékét behelyettesítve
\(\displaystyle \vartheta=\frac{2}{5\sqrt{5}}\frac{\varrho_\mathrm{v}}{\varrho_\mathrm{F}}\frac{a}{R}.\)
Az \(\displaystyle M\) tömeg becsült értékéből számítva, két értékes jegyre kerekítve \(\displaystyle a=110\,\mathrm{m}\). A többi adatot is két jegyre kerekítve (\(\displaystyle \varrho_\mathrm{F}=5{,}5\cdot 10^3\,\mathrm{kg/m^3}\), \(\displaystyle R=6{,}4\cdot 10^6\,\mathrm{m}\))
\(\displaystyle \vartheta=5{,}6\cdot 10^{-7}\,\mathrm{rad}=0{,}12''.\)
Statisztika:
A P. 5709. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai