 |
A P. 5710. feladat (2026. február) |
P. 5710. Adott mennyiségű héliumgázzal körfolyamatot végzünk, amely izobár tágulásból, izochor hűtésből és adiabatikus összenyomásból áll. Legfeljebb mekkora lehet a körfolyamat hatásfoka?
KVANT nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Az ábra egy a leírásnak megfelelő körfolyamat \(\displaystyle p\)-\(\displaystyle V\) diagramját mutatja. Az A, B és C pontokban a gáz állapotváltozói rendre \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle V_1\) és \(\displaystyle T_\mathrm{A}=p_2V_1/nR\); \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle V_2\) és \(\displaystyle T_\mathrm{B}=p_2V_2/nR\); illetve \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle V_2\) és \(\displaystyle T_\mathrm{C}=p_1V_2/nR\), ahol \(\displaystyle n\) a gáz mennyisége mólokban kifejezve.
A két nyomás- és két térfogatadatból csak három független, mert a C\(\displaystyle \to\)A folyamat adiabatikus voltából következik, hogy
\(\displaystyle p_1V_2^\kappa=p_2V_1^\kappa.\)
Esetünkben, mivel egyatomos gázról van szó, a fajhőhányados értéke \(\displaystyle \kappa=\tfrac{c_p}{c_V}=\tfrac{5}{3}\). A körfolyamatban hőfelvétel csak az A\(\displaystyle \to\)B, míg hőleadás csak a B\(\displaystyle \to\)C szakaszon van. Ezek értéke rendre
\(\displaystyle Q_1=c_p(T_\mathrm{B}-T_\mathrm{A})=c_p\frac{p_2V_2-p_2V_1}{nR}\)
és
\(\displaystyle Q_2=c_V(T_\mathrm{B}-T_\mathrm{C})=c_V\frac{p_2V_2-p_1V_2}{nR}.\)
A kettő különbsége az egy ciklus alatt végzett munka, így a hatásfok
\(\displaystyle \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{c_p(p_2V_2-p_2V_1)-c_V(p_2V_2-p_1V_2)}{c_p(p_2V_2-p_2V_1)}=1-\frac{1}{\kappa}\cdot\frac{p_2V_2-p_1V_2}{p_2V_2-p_2V_1}.\)
Az adiabatikus állapotegyenletből kapott
\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\)
összefüggést behelyettesítve, egyszerűsítések után az
\(\displaystyle \eta=1-\frac{1}{\kappa}\cdot\frac{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}}\)
kifejezést kapjuk. Mivel \(\displaystyle p_2>p_1\), kifejezésünk a \(\displaystyle 0<\tfrac{p_1}{p_2}<1\) tartományban értelmes. Itt \(\displaystyle \tfrac{1}{\kappa}<1\) miatt
\(\displaystyle {\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}<{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}},\)
ezért
\(\displaystyle \frac{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}}>1,\)
azaz
\(\displaystyle \eta<1-\frac{1}{\kappa},\)
ami esetünkben \(\displaystyle \eta<\tfrac{2}{5}\). Ez tehát a felső korlát az ilyen típusú körfolyamatok hatásfoka számára, amit a \(\displaystyle \tfrac{p_1}{p_2}\) arány csökkentésével lehet egyre jobban megközelíteni.
Statisztika:
A P. 5710. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai