A P. 5711. feladat (2026. február)

P. 5711. Öt egyforma $\displaystyle C$ kapacitású kondenzátor és egy $\displaystyle U$ belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.

a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?

b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort $\displaystyle nC$ kapacitású kondenzátorra cseréljük?

Közli: Németh Róbert, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Sorba kapcsolt kondenzátorokon a feszültség a kapacitásokkal fordított arányban oszlik meg, hiszen a két kondenzátoron ugyanakkora töltésnek kell lennie:

$\displaystyle C_1U_1=Q=C_2U_2,$

a soros kapcsolás miatt a feszültségek összeadódnak:

$\displaystyle U_1+U_2=U,$

amiből

$$\begin{gather*} U_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}U,\\ U_2=\frac{C_1}{C_1+C_2}U. \end{gather*}$$

a) A kapcsolási rajzot kicsit átrajzolva (1. ábra) láthatjuk, hogy a négy szélső kondenzátor eredője szintén egy $\displaystyle C$ kapacitású kondenzátor, hiszen a sorba kapcsolt két-két kondenzátor eredő kapacitása $\displaystyle \tfrac{C}{2}$, és ezeket párhuzamosan kapcsolva $\displaystyle 2\cdot\tfrac{C}{2}=C$ kapacitást kapunk. Így az (eredetileg) középen elhelyezkedő (az ábrán piros) kondenzátorra

$\displaystyle U_\mathrm{a}=\frac{1}{2}U$

feszültség jut, a rajta felhalmozott töltés így:

$\displaystyle Q_\mathrm{a}=\frac{1}{2}CU.$

1. ábra

b) Itt két esetet kell megkülönböztetnünk: vagy a középső, vagy valamelyik szélső kondenzátort cseréljük ki $\displaystyle nC$ kapacitásúra. (A második esetben a szimmetria miatt mindegy, hogy melyiket.)

2. ábra

Az első esetben a 2. ábrán látható módon az $\displaystyle U$ feszültség egy $\displaystyle nC$ és egy $\displaystyle C$ kapacitású, sorbakötött kondenzátor között oszlik meg. A bevezető szerint az (eredetileg) középen elhelyezkedő $\displaystyle nC$ kapacitású kondenzátorra jutó feszültség:

$\displaystyle U_\mathrm{b1}=\frac{C}{nC+C}U=\frac{1}{n+1}U,$

amiből a keresett töltés:

$\displaystyle Q_\mathrm{b1}=nCU_\mathrm{b1}=\frac{n}{n+1}CU.$

3. ábra

A másik esetet a 3. ábra mutatja. Ekkor a négy másik kapacitás eredője:

$\displaystyle C_\mathrm{e}=nC\times C+C\times C=\frac{n}{n+1}C+\frac{1}{2}C=\frac{3n+1}{2n+2}C,$

ahol a $\displaystyle \times$ a ,,replusz'' jele (a reciprokok összegének a reciproka). Az (eredetileg) középen álló kondenzátorra jutó feszültség a feszültségosztás alapján:

$\displaystyle U_\mathrm{b2}=\frac{\frac{3n+1}{2n+2}C}{C+\frac{3n+1}{2n+2}C}U=\frac{3n+1}{5n+3}U,$

amiből a keresett töltés:

$\displaystyle Q_\mathrm{b2}=CU_\mathrm{b2}=\frac{3n+1}{5n+3}CU.$

Statisztika:

A P. 5711. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. februári fizika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?