 |
A P. 5712. feladat (2026. február) |
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
KVANT nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Két esetet különböztetünk meg. Ha a szentjánosbogár a fókusztávolságon kívül keresztezi az optikai tengelyt, akkor valódi képek jönnek létre. Azok a fénysugarak, amelyeket a bogár különböző pillanatokban a repülési irányába bocsát ki, ugyanott haladnak és a lencsén való irányváltozás után éppen a képpontok által kijelölt egyenessel esnek egybe (1. ábra).
1. ábra
Ha az irányváltozás helye az optikai tengelyről \(\displaystyle r\) távolságban van, akkor az \(\displaystyle ORP\) és \(\displaystyle OQR\) félszabályos háromszögekre alkalmazott Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy
\(\displaystyle r^2=3t^2,\qquad\textrm{illetve}\qquad 3r^2=k^2,\)
vagyis \(\displaystyle r=\sqrt{3}t=k/\sqrt{3}\), tehát \(\displaystyle k=3t\). Ezt a leképezési törvénybe helyettesítve ez az eredmény adódik:
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{3t}=\frac{1}{f},\qquad\textrm{azaz}\qquad t=\frac{4}{3}f=40\,\mathrm{cm}.\)
Megjegyzés. Ugyanezt a \(\displaystyle \tg 60^\circ=\sqrt{3}\) és \(\displaystyle \tg 30^\circ=1/\sqrt{3}\) szögfüggvény-értékekből is megkaphattuk volna.
Ha \(\displaystyle t<f\), akkor a szentjánosbogár látszólagos (virtuális) képe jön létre a lencsének a bogár felé eső oldalán, a lencsétől \(\displaystyle \vert k\vert=-k\) távolságban \(\displaystyle (k<0)\), amikor a fényforrás éppen áthalad az optikai tengelyen.
2. ábra
Most is felírhatjuk a 2. ábrán látható két félszabályos háromszög oldalaira, hogy
\(\displaystyle k^2+r^2=(2r)^2,\qquad\textrm{azaz}\qquad k=-\sqrt{3}r,\)
valamint
\(\displaystyle t^2+r^2=(2t)^2,\qquad\textrm{azaz}\qquad t=r/\sqrt{3},\)
tehát \(\displaystyle k=-3t\), és így a leképezési törvény szerint \(\displaystyle t=2f/3=20\,\mathrm{cm}\).
Megjegyzés. A leképezési hibáktól mentes képalkotásban csak az optikai tengely közelében haladó fénysugarak vesznek részt. A fenti megfontolások során a geometriai viszonyok tisztázása érdekében olyan fénysugarat vizsgáltunk, amely nagyon eltávolodik az optikai tengelytől. Ez a sugár nem vesz részt a tényleges képalkotásban. csak egy segédegyenes szerepét tölti be.
Statisztika:
A P. 5712. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai