 |
A P. 5713. feladat (2026. február) |
P. 5713. Egy amatőr űrkutató diák elképzelése szerint egy nagy méretű, sík alumíniumfólia a Naprendszerben valahol (de a bolygóktól távol) álló helyzetben is egyensúlyban maradhatna. Az egyszerűség kedvéért feltételezte, hogy az alumíniumvitorla \(\displaystyle 100\%\)-ban visszaveri a napfényt. (Ismert, hogy a földi légkör tetejét érő sugárzási teljesítménysűrűség \(\displaystyle 1360~\mathrm{W/m^2}\).) Legfeljebb milyen vastag lehet a ,,fényvitorla'', hogy az elképzelés megvalósítható legyen?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a vitorla területe \(\displaystyle A\), vastagsága \(\displaystyle d\), anyagának sűrűsége \(\displaystyle \varrho\), a Naptól mért távolsága pedig \(\displaystyle r\). Feltételezzük, hogy a vitorla merőleges a ráeső fény irányára.
Az alumíniumvitorla tömege \(\displaystyle m=Ad\varrho\), az egész berendezés tömege ennél nyilván nagyobb, hiszen valamilyen merevítő szerkezettel is rendelkezik. A szerkezetre ható gravitációs erő
\(\displaystyle F_1>\frac{\gamma Mm}{r^2}=\frac{\gamma MdA\varrho}{r^2},\)
ahol \(\displaystyle M\) a Nap tömege, \(\displaystyle \gamma\) pedig a Newton-féle gravitációs állandó.
A napvitorlának ütköző és arról visszaverődő fény impulzusa megváltozik, emiatt erőt fejt ki az alumíniumfóliára. A fényt \(\displaystyle E=hf\) energiájú, \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}\) impulzusú fotonok együttesének tekintjük, minden egyes foton impulzusváltozása \(\displaystyle \varDelta p={2E}/{c}\), és ugyanez az egyenlőség áll fenn a fóliára eső teljes fény kétszeres energiájára és az impulzusváltozására.
A Naptól \(\displaystyle R=1\,\mathrm{CsE}=150\,\textrm{millió km}\) távol lévő, \(\displaystyle A\) területű fóliára \(\displaystyle \varDelta t\) idő alatt \(\displaystyle E=LA\varDelta t\) energiájú fény érkezik, ahol \(\displaystyle L=1360\,\mathrm{W/m^2}\) az ún. napállandó. Ha az alumíniumfólia a Naptól \(\displaystyle r\) távolságban található, a rá eső energia \(\displaystyle (R/r)^2\) arányban kisebb. A fény impulzusváltozása tehát
\(\displaystyle \varDelta p=\frac{2E}{c}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2\,\varDelta t,\)
és így az alumíniumfóliára ható (a fénynyomásból származó) erő
\(\displaystyle F_2=\frac{\varDelta p}{\varDelta t}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)
Az űreszköz akkor maradhat a bolygóktól távoli helyen nyugalomban, ha \(\displaystyle F_1=F_2\), vagyis
\(\displaystyle \frac{\gamma MdA\varrho}{r^2}<\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)
azaz
\(\displaystyle d<\frac{2LR^2}{\gamma M\varrho c.}\)
(Érdekes, hogy az eredmény független \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle r\) nagyságától.)
A fenti képlet jobb oldalán ismert nagyságú mennyiségek szerepelnek, de azok behelyettesítése előtt érdemes még egy átalakítást elvégezni. Tudjuk, hogy a Föld a Naptól \(\displaystyle R\) távolságban \(\displaystyle T=1\) éves periódusidővel kering, tehát Newton törvénye szerint
\(\displaystyle \frac{\gamma M}{R^2}=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)
azaz
\(\displaystyle \gamma M=\frac{4\pi^2R^3}{T^2.}\)
Ezt a korábban kapott kifejezésbe helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle d<\frac{LT^2}{2\pi^2R\varrho c}\approx\frac{1360\cdot(365\cdot 24\cdot 3600)^2}{2\cdot 3{,}14^2\cdot 1{,}5\cdot 10^{11}\cdot 2700\cdot 3\cdot 10^8}\,\mathrm{m}\approx 0{,}5\,\mu\mathrm{m}.\)
Ilyen vékony alumíniumfóliával tehát a diák elképzelése elvben megvalósítható lenne, jóllehet a berendezés merevítése és a helyzetének stabilizálása nagyon komoly technikai nehézségeket jelentene.
Statisztika:
A P. 5713. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai