A P. 5713. feladat (2026. február)

P. 5713. Egy amatőr űrkutató diák elképzelése szerint egy nagy méretű, sík alumíniumfólia a Naprendszerben valahol (de a bolygóktól távol) álló helyzetben is egyensúlyban maradhatna. Az egyszerűség kedvéért feltételezte, hogy az alumíniumvitorla \(\displaystyle 100\%\)-ban visszaveri a napfényt. (Ismert, hogy a földi légkör tetejét érő sugárzási teljesítménysűrűség \(\displaystyle 1360~\mathrm{W/m^2}\).) Legfeljebb milyen vastag lehet a ,,fényvitorla'', hogy az elképzelés megvalósítható legyen?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a vitorla területe \(\displaystyle A\), vastagsága \(\displaystyle d\), anyagának sűrűsége \(\displaystyle \varrho\), a Naptól mért távolsága pedig \(\displaystyle r\). Feltételezzük, hogy a vitorla merőleges a ráeső fény irányára.

Az alumíniumvitorla tömege \(\displaystyle m=Ad\varrho\), az egész berendezés tömege ennél nyilván nagyobb, hiszen valamilyen merevítő szerkezettel is rendelkezik. A szerkezetre ható gravitációs erő

\(\displaystyle F_1>\frac{\gamma Mm}{r^2}=\frac{\gamma MdA\varrho}{r^2},\)

ahol \(\displaystyle M\) a Nap tömege, \(\displaystyle \gamma\) pedig a Newton-féle gravitációs állandó.

A napvitorlának ütköző és arról visszaverődő fény impulzusa megváltozik, emiatt erőt fejt ki az alumíniumfóliára. A fényt \(\displaystyle E=hf\) energiájú, \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}\) impulzusú fotonok együttesének tekintjük, minden egyes foton impulzusváltozása \(\displaystyle \varDelta p={2E}/{c}\), és ugyanez az egyenlőség áll fenn a fóliára eső teljes fény kétszeres energiájára és az impulzusváltozására.

A Naptól \(\displaystyle R=1\,\mathrm{CsE}=150\,\textrm{millió km}\) távol lévő, \(\displaystyle A\) területű fóliára \(\displaystyle \varDelta t\) idő alatt \(\displaystyle E=LA\varDelta t\) energiájú fény érkezik, ahol \(\displaystyle L=1360\,\mathrm{W/m^2}\) az ún. napállandó. Ha az alumíniumfólia a Naptól \(\displaystyle r\) távolságban található, a rá eső energia \(\displaystyle (R/r)^2\) arányban kisebb. A fény impulzusváltozása tehát

\(\displaystyle \varDelta p=\frac{2E}{c}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2\,\varDelta t,\)

és így az alumíniumfóliára ható (a fénynyomásból származó) erő

\(\displaystyle F_2=\frac{\varDelta p}{\varDelta t}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)

Az űreszköz akkor maradhat a bolygóktól távoli helyen nyugalomban, ha \(\displaystyle F_1=F_2\), vagyis

\(\displaystyle \frac{\gamma MdA\varrho}{r^2}<\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)

azaz

\(\displaystyle d<\frac{2LR^2}{\gamma M\varrho c.}\)

(Érdekes, hogy az eredmény független \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle r\) nagyságától.)

A fenti képlet jobb oldalán ismert nagyságú mennyiségek szerepelnek, de azok behelyettesítése előtt érdemes még egy átalakítást elvégezni. Tudjuk, hogy a Föld a Naptól \(\displaystyle R\) távolságban \(\displaystyle T=1\) éves periódusidővel kering, tehát Newton törvénye szerint

\(\displaystyle \frac{\gamma M}{R^2}=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

azaz

\(\displaystyle \gamma M=\frac{4\pi^2R^3}{T^2.}\)

Ezt a korábban kapott kifejezésbe helyettesítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle d<\frac{LT^2}{2\pi^2R\varrho c}\approx\frac{1360\cdot(365\cdot 24\cdot 3600)^2}{2\cdot 3{,}14^2\cdot 1{,}5\cdot 10^{11}\cdot 2700\cdot 3\cdot 10^8}\,\mathrm{m}\approx 0{,}5\,\mu\mathrm{m}.\)

Ilyen vékony alumíniumfóliával tehát a diák elképzelése elvben megvalósítható lenne, jóllehet a berendezés merevítése és a helyzetének stabilizálása nagyon komoly technikai nehézségeket jelentene.

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bense Tamás, Bús László Teodor, Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Fuchs Vince, Horváth Péter, Horváth Zsombor, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2026. februári fizika feladatai