 |
A P. 5714. feladat (2026. február) |
P. 5714. Egy \(\displaystyle m\) tömegű kicsiny golyócskát \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, vékony selyemszálra függesztettünk fel. Ugyanolyan magasságban, tőle \(\displaystyle \ell/2\) távolságban egy másik, szigetelőállványra rögzített, kicsiny fémgömb található, amire egy elektrosztatikus gép segítségével különböző \(\displaystyle {+Q}\) pozitív töltést juttathatunk. A szigetelőszálon függő golyócska \(\displaystyle {-q}\) negatív töltéssel rendelkezik.
A \(\displaystyle Q\) töltés nagyságát nagyon lassan változtatjuk, és mindig megvárjuk, hogy az inga egyensúlyi helyzetbe kerüljön. A selyemfonálnak a függőlegessel bezárt \(\displaystyle \varphi\) szöge a \(\displaystyle Q\) töltésnek valamilyen \(\displaystyle \varphi(Q)\) függvénye.
a) Nagyon kicsi \(\displaystyle Q\) esetén \(\displaystyle \varphi\) is nagyon kicsi, és a kitérés szöge jó közelítéssel a \(\displaystyle Q\) töltéssel arányosan változik: \(\displaystyle \varphi\approx{\tfrac{1}{Q_0}\cdot Q}\), ahol \(\displaystyle Q_0\) egy töltés dimenziójú állandó. Hogyan fejezhető ki \(\displaystyle Q_0\) a feladat többi (\(\displaystyle m\), \(\displaystyle g\), \(\displaystyle \ell\) és \(\displaystyle q\)) paraméterével?
b) Hány stabil egyensúlyi helyzet tartozik nagyon kicsi, nagyon nagy és közepes nagyságú \(\displaystyle Q\) töltéshez? Adjunk vázlatos (kvalitatív) leírást a \(\displaystyle \varphi(Q/Q_0)\) függvény menetére, ha a \(\displaystyle Q\) töltést nulláról nagy (\(\displaystyle Q\gg Q_0\)) értékre növeljük, majd onnan ismét nullára csökkentjük.
c) Részletes számítással ellenőrizzük, hogy helyesek-e a kvalitatív megfontolások, és adjuk meg számszerűen is a szögkitérés-töltés függvény grafikon jellegzetes pontjainak koordinátáit!
Szabó Endre (Vágfüzes, Szlovákia) javaslata alapján
(6 pont)
A beküldési határidő 2026. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. a) Kicsiny szögkitérésnél a két töltés közötti távolság közelítőleg \(\displaystyle d=\ell/2\)-nek vehető, így a Coulomb-erő nagysága
\(\displaystyle F_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{d^2}\approx\frac{qQ}{\pi\varepsilon_0\ell^2}.\)
Ezzel a (jó közelítéssel a fonálra merőleges) erővel a nehézségi erő érintő irányú komponense,
\(\displaystyle F_2=mg\sin\varphi\approx mg\varphi\)
tart egyensúlyt.
\(\displaystyle F_1=F_2,\qquad\text{ahonnan}\qquad\varphi\approx\frac{q}{\pi\varepsilon_0\ell^2mg}\cdot Q,\)
vagyis a paraméterek közötti kapcsolat:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle Q_0=\frac{\pi\varepsilon_0\ell^2mg}{q}.\) |
b) \(\displaystyle Q=0\) esetén nyilván csak egyetlen stabil egyensúlyi helyzet van a \(\displaystyle \varphi=0\) szögnél. Lényegében ugyanez a helyzet, ha \(\displaystyle Q\ne 0\), de kicsi \(\displaystyle (Q\ll Q_0)\). Ilyenkor az egyensúlyi helyzet egy kicsit eltolódik a rögzített fémgömb irányába, de máshol nem alakulhat ki erőegyensúly, a nehézségi erő minden más helyzetben ,,legyőzi'' a Coulomb-erőt.
Nagyon nagy (\(\displaystyle Q\gg Q_0\)) töltés esetén a Coulomb-erő mellett a nehézségi erő alig játszik szerepet, így csak a töltések legkisebb távolságának megfelelő
\(\displaystyle \varphi_1=\arctg\frac{1}{2}\approx 26{,}6^\circ\)
szögkitérés közelében lehet az inga egyensúlyban.
Ha az \(\displaystyle Q\) töltés \(\displaystyle Q_0\)-hoz képest se nem nagyon kicsi, se nem nagyon nagy, akkor várhatóan két stabil helyzete is lehet az ingának. Az egyik \(\displaystyle \varphi\) viszonylag kis értékeiénél, ahol a távoli töltések között ható Coulomb-erő kicsi, illetve a \(\displaystyle \varphi_1\) szög közelében, ahol a töltések kis távolsága miatt az elektrosztatikus erő sokkal erősebb, mint a nehézségi erő. A két stabil egyensúlyi állapotot egy instabil helyzet választja el, amin a rendszer ,,magától'' csak akkor tud átlépni, ha \(\displaystyle Q\)-t nagyon nagyra növeljük, vagy ha nagyon kicsire csökkentjük. A \(\displaystyle Q\) töltés változtatásának ,,irányától'' függően a rendszer különböző módon viselkedik, vagyis a hiszterézise van.
c) Számítsuk ki egy adott \(\displaystyle \varphi\) szögkitérésnél a Coulomb-erőnek, illetve a nehézségi erőnek a fonálra merőleges \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\) komponensét, majd ezek egyenlőségéből az egyensúly feltételét. Az 1. ábráról leolvashatjuk, hogy az ingatesttől a rögzített helyzetű töltéshez mutató vektor
\(\displaystyle \boldsymbol{d}=\ell\left(\frac{1}{2}-\sin\varphi,-1+\cos\varphi\right),\)
melynek nagysága:
\(\displaystyle d=\vert\boldsymbol{d}\vert=\ell\sqrt{\left(\frac{1}{2}-\sin\varphi\right)^2+\left(-1+\cos\varphi\right)^2}=\frac{\ell}{2}\sqrt{9-4\sin\varphi-8\cos\varphi}.\)
1. ábra
Az érintő irányú egységvektor
\(\displaystyle \boldsymbol{e}=(\cos\varphi,\sin\varphi),\)
ennek segítségével kiszámítható az 1. ábrán látható \(\displaystyle \alpha\) szög koszinusza:
\(\displaystyle \boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{d}=d\,\cos\alpha=e_xd_x+e_yd_y=\frac{\ell}{2}(\cos\varphi-2\sin\varphi),\)
vagyis
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{\ell}{2d}(\cos\varphi-2\sin\varphi).\)
A Coulomb-erő nagysága
\(\displaystyle \left|\boldsymbol{F}_\textrm{Coulomb}\right|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{qQ}{d^2},\)
melynek érintő irányú komponense
\(\displaystyle F_1(\varphi)=\left|\boldsymbol{F}_\textrm{Coulomb}\right|\,\cos\alpha=\frac{\ell}{8\pi\varepsilon_0}\,\frac{qQ}{d^3}(\cos\varphi-2\sin\varphi).\)
(Látható, hogy \(\displaystyle \varphi=\varphi_1=\arctg\tfrac{1}{2}\) szögkitérésnél \(\displaystyle F_1=0\).)
A nehézségi erő érintő irányú összetevője – mint az az ingamozgás összefüggéseiből ismert – \(\displaystyle F_2=mg\sin\varphi.\)
Az egyensúly feltétele \(\displaystyle F_1=F_2\), azaz
\(\displaystyle \frac{\ell}{8\pi\varepsilon_0}\,\frac{qQ(\cos\varphi-2\sin\varphi)}{(\ell/2)^3(9-4\sin\varphi-8\cos\varphi)^{3/2}}=mg\sin\alpha.\)
Ez az összefüggés (1) ismeretében így is felírható:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{Q}{Q_0}=\frac{(9-4\sin\varphi-8\cos\varphi)^{3/2}}{\ctg\varphi-2}.\) |
Megjegyzés. A fenti egyenlethez más úton, az energiaviszonyok vizsgálatán keresztül is eljuthatunk. A rendszer teljes (gravitációs és elektrosztatikus) energiája \(\displaystyle \varphi\) függvényében
\(\displaystyle E(\varphi)=mg\ell(1-\cos{\varphi))-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{d}}=mg\ell\left[1-\cos\varphi-\frac{Q}{2Q_0}\frac{1}{\sqrt{9-4\sin\varphi-8\cos\varphi}}\right].\)
Az egyensúlyi helyzetet az jellemzi, hogy ott a teljes potenciális energiájának a lehetséges változásokat leíró paraméter (esetünkben \(\displaystyle \varphi\)) szerinti deriváltja nulla. A szögletes zárójelben álló kifejezést deriválva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \sin\varphi+\frac{Q}{4Q_0}\frac{8\sin\varphi-4\cos\varphi}{(9-4\sin\varphi-8\cos\varphi)^{3/2}}=0,\)
ami megegyezik a (2) összefüggéssel.
Ábrázoljuk (2)-t a \(\displaystyle 0<\varphi<\varphi_1\) intervallumon (2. ábra).
2. ábra
Látjuk, hogy ez a függvény két monoton növekvő és egy monoton csökkenő ágból áll. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont közötti (pirossal jelölt) görbe pontjai az inga instabil egyensúlyi állapotainak felelnek meg. Ezt a következő megfontolással láthatjuk be. Ha a kérdéses intervallum valamely pontjának megfelelő állapotból valamilyen kicsiny külső zavar hatására ,,kibillen'' a rendszer, és \(\displaystyle \varphi\) mondjuk egy kicsit megnő, akkor ezt az állapot az eredetinél kisebb \(\displaystyle Q\) töltés tudná egyensúlyban tartani (hiszen a piros görbe monoton csökken). Az eredeti, az egyensúlyhoz szükségesnél nagyobb \(\displaystyle Q\) töltés az ingát a rögzített töltés felé húzza, tehát a \(\displaystyle \varphi\) szöget tovább növeli, azaz az egyensúly instabil. A görbe növekvő (fekete vonallal jelölt) ágainál éppen fordított a helyzet: az egyensúlyból kibillentett rendszerre ható eredő erő visszatéríti az ingát a kiindulási állapotba, az tehát stabil egyensúlyi állapot volt.
A továbbiakban az instabil egyensúlyi helyzeteket figyelmen kívül hagyjuk, a rendszernek csak a stabil egyensúlyi állapotaival foglalkozunk. A 2. ábrán megfigyelhetjük, hogy ha a \(\displaystyle Q\) töltés viszonylag kicsi (kisebb, mint a \(\displaystyle A\) ponthoz tartozó érték), vagy aránylag nagy (nagyobb, mint az \(\displaystyle B\) pontnak megfelelő töltés), akkor a rendszernek minden \(\displaystyle Q\)-hoz csak egy egyensúlyi állapota tartozik. Közepes (az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pont közé eső) töltéseknél viszont a stabil egyensúlyi állapotok száma kettő. Emiatt a \(\displaystyle \tfrac{Q}{Q_0}=f(\varphi)\) függvény nem invertálható.
Szigorú matematikai értelemben a \(\displaystyle \varphi=f^{-1}(Q/Q_0)\) inverz függvény nem létezik, mert bizonyos \(\displaystyle Q/Q_0\) értékekhez nem tudunk egyértelműen \(\displaystyle \varphi\) szöget hozzárendelni. Formálisan mégis megtehetjük, hogy \(\displaystyle \varphi\) és \(\displaystyle Q/Q_0\) szerepét felcseréljük olymódon, hogy a 2. ábra grafikonját tükrözzük a \(\displaystyle Q/Q_0=\varphi\) egyenesre. Ekkor a 3. ábrán látható, helyenként ,,többértékű'' függvényhez jutunk.
3. ábra
Az ábráról leolvashatjuk, hogy ha a \(\displaystyle Q/Q_0\) töltésértékez nulláról fokozatosan növeljük, akkor a rendszer stabil állapotok sorozatán keresztül eljut az \(\displaystyle A\) pontig (piros görbe), de ott megszűnik a kisebb \(\displaystyle \varphi\) értékhez tartozó stabil állapot, emiatt a rendszer ,,átugrik'' a másik stabil állapotába, az \(\displaystyle A'\) pontba. A töltést tovább növelve a kitérés szöge tart az aszimptotikus \(\displaystyle \varphi_1=\arctg\frac{1}{2}=0{,}46\,\textrm{radián}\) értékhez.
Ha a \(\displaystyle Q\) töltést nagy értékektől fokozatosan csökkentjük, a rendszer a kék görbe menti állapotokat veszi fel. A \(\displaystyle B\) pontban hirtelen átkerül a \(\displaystyle B'\) állapotba, majd a nullához közelítő töltésre az egyensúlyi szögkitérés nullához tart. A hiszterézisgörbe jellegzetes pontjainak koordinátáit (amelyeket a grafikonról olvashatunk le, vagy numerikus számítással határozhatunk meg) a 3. ábrán feltüntettük.
Statisztika:
A P. 5714. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. februári fizika feladatai