 |
A P. 5715. feladat (2026. március) |
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A mozgás két részből áll: egy ingamozgásból és egy ferde hajításból. Az 1. ábrán láthatók a jelölések. (A megfelelő szöget az inga felfelé mozgó részén keressük.)
1. ábra
A fonál elszakadásakor a test a talaj felett
\(\displaystyle h_0=\ell(1-\cos\alpha)\)
magasságban van, az egyensúlyi helyzettől vízszintesen
\(\displaystyle d_0=\ell\sin\alpha\)
távolságban. A sebessége ekkor érintőirányú (így a vízszintessel \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be), nagysága az energiamegmaradás alapján:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{2\ell g\cos\alpha}.\)
A ferde hajítás elmozdulás-idő függvényei (az origót az \(\displaystyle O\) pontban, a tengelyeket az ábrán jelölt módon választva):
$$\begin{gather*} x=v_0\cos\alpha\,t,\\ y=h_0+v_0\sin\alpha\,t-\frac{g}{2}t^2. \end{gather*}$$A földetérés \(\displaystyle t_\mathrm{f}\) időpontját az \(\displaystyle y(t_\mathrm{f})=0\) egyenlet adja meg. A másodfokú egyenlet pozitív gyöke:
\(\displaystyle t_\mathrm{f}=\frac{v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh_0}}{g},\)
amiből a földetérésig megtett vízszintes elmozdulás:
\(\displaystyle x_\mathrm{f}=v_0\cos\alpha\,t_\mathrm{f}=\frac{v_0\cos\alpha}{g}\left(v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh_0}\right).\)
Az \(\displaystyle E\) egyensúlyi helyzettől mérve a távolság \(\displaystyle h_0\), \(\displaystyle d_0\) és \(\displaystyle v_0\) kifejezését beírva:
\(\displaystyle d=d_0+x_\mathrm{f}=\ell\sin\alpha+2\ell\sin\alpha\cos^2\alpha+\cos\alpha\sqrt{4\ell^2\cos^2\alpha\sin^2\alpha+4\ell^2\cos\alpha(1-\cos\alpha)}.\)
A távolságot \(\displaystyle \ell\) egységekben mérve, és a kifejezést tovább rendezve:
\(\displaystyle \frac{d}{\ell}=\sin\alpha(1+2\cos^2\alpha)+2\cos\alpha\sqrt{\cos\alpha-\cos^4\alpha}.\)
Ennek a kifejezésnek a maximumát keressük. A kifejezés deriválható, de az így kapott egyenlet nagyon bonyolult, csak numerikusan megoldható. Ehelyett érdemes a függvényt grafikusan ábrázolni, és a grafikonról leolvasni a maximális távolsághoz tartozó \(\displaystyle \alpha_\mathrm{max}\) szöget és \(\displaystyle d_\mathrm{max}\) távolságot (2. ábra).
2. ábra
A grafikon alapján:
$$\begin{gather*} \alpha_\mathrm{max}\approx 41^\circ,\\ d_\mathrm{max}\approx 2{,}4\,\ell. \end{gather*}$$A másik lehetőség a függvény maximumhelyének és maximumértékének internetes megkeresése (például a
https://www.wolframalpha.com/ oldalon).
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Erdélyi Dominik, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vincze Anna. 4 pontot kapott: Sümeghi Nándor , Zádori Gellért. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai