 |
A P. 5716. feladat (2026. március) |
P. 5716. Egy \(\displaystyle m\) tömegű korong súrlódásmentesen mozoghat egy vízszintes asztallapon. Egy nyújthatatlan kötél egyik vége a koronghoz, másik vége egy \(\displaystyle M\) tömegű testhez van rögzítve miközben átvetettük egy lyukon az asztalon (a kötél és az asztallap közötti súrlódás szintén elhanyagolható). Az \(\displaystyle m\) tömegű test kezdetben egy \(\displaystyle R\) sugarú körpályán halad, mikor sugárirányban kicsiny lökést adunk neki. Mekkora periódusidővel rezeg az \(\displaystyle M\) tömegű test?
Közli: Erdélyi Dominik, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Legyen az egyensúlyi helyzetben az \(\displaystyle m\) tömegű test sebessége \(\displaystyle v_0\). A körmozgás dinamikai feltételei alapján:
\(\displaystyle m\frac{v_0^2}{R}=Mg,\)
amiből:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mv_0^2=MgR.\) |
A meglökés után az \(\displaystyle M\) tömegű test függőleges rezgőmozgásba kezd, kitérése legyen \(\displaystyle y\) (felfelé pozitív). Ekkor az \(\displaystyle m\) tömegű test a lyuktól \(\displaystyle r=R+y\) távolságra van, tangenciális sebessége legyen \(\displaystyle v_\mathrm{t}\). Erre a testre az eredő erő mindig a lyuk irányába hat (a meglökéskor is csak ilyen irányú erővel hatottunk rá), így a lyukra vonatkoztatva a perdülete állandó:
\(\displaystyle mv_\mathrm{t}(R+y)= mv_0R,\)
amiből:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v_\mathrm{t}=\frac{R}{R+y}v_0.\) |
A két test között a \(\displaystyle K\) kötélerő hat, így az \(\displaystyle M\) tömegű test függőleges mozgásegyenlete és az \(\displaystyle m\) tömegű test radiális mozgásegyenlete:
$$\begin{gather*} Ma=K-Mg,\\ m\left(a-\frac{v_\mathrm{t}^2}{R+y}\right)=-K, \end{gather*}$$amiből:
\(\displaystyle Ma+Mg=m\frac{v_\mathrm{t}^2}{R+y}-ma.\)
Ebből (1) és (2) felhasználásával:
\(\displaystyle Mg+Ma=\frac{R^3}{(R+y)^3}Mg-ma,\)
majd rendezve:
\(\displaystyle (M+m)a=Mg\left(\frac{1}{\left(1+\frac{y}{R}\right)^3}-1\right).\)
Felhasználva, hogy \(\displaystyle y\ll R\), a zárójelben lévő kifejezés:
\(\displaystyle \frac{1}{\left(1+\frac{y}{R}\right)^3}-1\approx 1-3\frac{y}{R}-1=-3\frac{y}{R},\)
és így
\(\displaystyle a=-\frac{3Mg}{(M+m)R}\,y.\)
Láthatjuk, hogy (a kis kitéréses közelítésben) a gyorsulás iránya ellentétes a kitérés irányával, és nagysága arányos a kitéréssel. Eszerint a rezgés körfrekvenciája:
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3Mg}{(M+m)R}},\)
amiből a rezgés periódusideje:
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{(M+m)R}{3Mg}}.\)
II. megoldás. Legyen a sugárirányú meglökés sebessége \(\displaystyle \hat{v}\). Írjuk fel a mozgás energiamérlegét a meglökés utáni pillanat és a rezgőmozgás legnagyobb, \(\displaystyle \hat{y}\) kitérésű helyzete között. (Felhasználjuk, hogy az utóbbi helyzetben az \(\displaystyle M\) tömegű test sebessége és az \(\displaystyle m\) tömegű test radiális sebessége is eltűnik.)
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}(M+m)\hat{v}^2=Mg\hat{y}+\frac{1}{2}mv_\mathrm{t}^2.\)
Az I. megoldás (1) és (2) kifejezését felhasználva és rendezve:
$$\begin{gather*} mv_0^2+(M+m)\hat{v}^2=2Mg\hat{y}+m\frac{R^2}{(R+\hat{y})^2}v_0^2,\\ (M+m)\hat{v}^2=MgR\left(\frac{2\hat{y}}{R}+\frac{R^2}{(R+\hat{y})^2}-1\right). \end{gather*}$$A zárójelben lévő kifejezést rendezve, és a nem vezető tagokat (a számlálóban az \(\displaystyle \hat{y}^3\)-ös tagot, a nevezőben \(\displaystyle R\)-en kívül mindent) elhanyagolva:
\(\displaystyle \frac{2\hat{y}}{R}+\frac{R^2}{(R+\hat{y})^2}-1=\frac{2\hat{y}(R+\hat{y})^2+R^3-R(R+\hat{y})^2}{R(R+\hat{y})^2}=\frac{3R\hat{y}^2+2\hat{y}^3}{R(R+\hat{y})^2}\approx\frac{3\hat{y}^2}{R^2}.\)
Ezt beírva és rendezve:
\(\displaystyle \hat{v}^2=\frac{3Mg}{(M+m)R}\,\hat{y}^2,\)
amiből a rezgés körfrekvenciája:
\(\displaystyle \omega=\frac{\hat{v}}{\hat{y}}=\sqrt{\frac{3Mg}{(M+m)R}},\)
az előző megoldással egyezően.
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Borsics Bendegúz, Erdélyi Dominik, Horváth Zsombor, Kovács Tamás , Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Szabó Tamás, Szécsi Bence. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai