 |
A P. 5717. feladat (2026. március) |
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
I. megoldás A kérdésre egy analógia felhasználásával, a vékony folyadékhártyák felületi feszültség által szabályozott energiaminimumra történő hivatkozással is választ kaphatunk.
Képzeljük el a következő gondolatkísérletet. Merev drótból elkészítjük az \(\displaystyle ABCD\) téglalap alakú keretet, amit az \(\displaystyle EF\) egyenes mentén egy ugyancsak merev dróttal két egyforma, egyenként \(\displaystyle T_0\) területű részre osztunk (1. ábra). Az \(\displaystyle AB\) oldalon (ami az eredeti feladatban az Észak-Afrikai partvonalnak felel meg) két kis karika (\(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\)) súrlódásmentesen csúszhat. Az \(\displaystyle AB\)-től \(\displaystyle d=\) 1 egység távolságra lévő \(\displaystyle EF\) drótra is felfűzünk két kis karikát (\(\displaystyle S\) és \(\displaystyle R\)), amelyek ugyancsak súrlódásmentesen mozoghatnak. Ezután bujtassunk egy vékony, hajlékony, nyújthatatlan, \(\displaystyle L=4\) egység hosszú fonalat az \(\displaystyle S\) és az \(\displaystyle R\) karikákon, a végeit pedig rögzítsük a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) karikákhoz.
1. ábra
Ezt követően a drótkeret egyik, majd a másik felét különböző folyadékokba mártjuk, és így két különböző tulajdonságú folyadékhártyát hozunk létre. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ABFE\) területen képződő (kék színnel jelölt) hártya felületi feszültsége kétszer akkora, mint az \(\displaystyle EFCD\) területen kialakuló (szürkével jelölt) másik hártyáé. Ha a fonál és az \(\displaystyle AB\) egyenes közötti részeken lévő hártyákat elpukkasztjuk, az ábrán látható egyensúlyi alak jön létre. Ennek \(\displaystyle E\) energiája a felületi feszültség és a hártya területének szorzatával egyezik meg, tehát az ábra jelöléseivel
\(\displaystyle E=2\sigma(T_0-T_1)+\sigma(T_0-T_2)=E_0-\sigma\cdot[2T_1+T_2].\)
A rendszer egyensúlyi állapotában az összenergia minimális, vagyis a szögletes zárójelben álló kifejezés – ami a Dido által körbekerített földterület értékével arányos – maximális értékű.
Milyen tulajdonságai vannak a fonálnak az egyensúlyi állapotban? A végpontjainál az érintője merőleges az \(\displaystyle AB\) oldalra; ha nem így lenne, akkor a \(\displaystyle P\) és a \(\displaystyle Q\) karikákra a fonál \(\displaystyle AB\) irányú erőt is kifejtene, és azok mozgásba jönnének. A fonalat mindenhol ugyanakkora, mondjuk \(\displaystyle K\) nagyságú erő feszíti, de ennek az erőnek az iránya helyről helyre változik. A fonál egy kicsiny darabjára a végpontjainál ható erők eredője a fonáldarabra merőleges és \(\displaystyle K\Delta\varphi\) nagyságú, ahol \(\displaystyle \Delta\varphi\) a végpontoknál ható erők irányának szögeltérése. Ezzel az erővel a felületi feszültségből származó \(\displaystyle \sigma\cdot R\Delta\varphi\) erő tart egyensúlyt, ahol \(\displaystyle R\) az adott helyen a fonál görbületi sugara. Ezek szerint \(\displaystyle R=K/\sigma=\) állandó, tehát a görbe alakja körív. A nagyobb felületi feszültségű (kék) hártya határgörbéje fele akkora sugarú körív, mint a másik (szürke) hártya körívhatára. A két hártya határánál (az \(\displaystyle S\) és az \(\displaystyle R\) pontoknál) a körívek érintője megegyezik; ellenkező esetben a gyöngyökre eredő erő hatna, és azok elmozdulnának.
Az eddigi eredmények ismeretében már pontosan meg tudjuk határozni a kerítés alakját és jellemző adatait, valamint a legnagyobb értékű elkerített terület nagyságát.
Foglaljuk össze, hogy mit tudunk.
1. A határgörbe érintője a görbe végpontjainál merőleges a tengerpartra.
2. A görbe három, törésmentesen csatlakozó körívből áll.
3. Ha a két szélső körív sugara \(\displaystyle r\), a középsőé \(\displaystyle 2r\).
4. A körívek csatlakozási pontjai 1 km távol vannak a tengerparttól.
5. A kerítés teljes hossza 4 km egység.
2. ábra
A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy (a távolságokat km egységekben számolva)
\(\displaystyle 2r\sin\varphi=2\qquad\text{és}\qquad 2r\varphi+2r(\pi-2\varphi)=4,\)
vagyis
\(\displaystyle 2\sin\varphi=\pi-\varphi.\)
Ennek a trigonometrikus egyenletnek a numerikus megoldása
\(\displaystyle \varphi\approx 1{,}245\,\mathrm{rad}\approx 71{,}4^\circ.\)
és \(\displaystyle r=1{,}055\,\mathrm{km}\).
\(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \varphi\) ismeretében már kiszámíthatjuk a Dido által körülkerített legértékesebb terület nagyságát:
\(\displaystyle A=2\frac{r^2\varphi}2+\frac{2r\cdot 2r(\pi-2\varphi)}2-r^2\sin\varphi\,\cos\varphi=r^2(2\pi-3\varphi-\sin\varphi\,\cos\varphi)\approx 2{,}5\,\mathrm{km^2}.\)
II. megoldás. A feladat megoldásához egy másik fizikai analógia is kínálkozik: nevezetesen egy hajlékony és alakváltoztatásra képes drótkeret mágneses térben olyan alakot vesz fel, illetve úgy helyezkedik el, hogy az energiája minimális legyen. Ez egy rögzített külső térben a vezető által körülfogott fluxus maximálását jelenti. Ennek belátásához az alábbiakat kell felidéznünk.
Egy síkban elhelyezkedő \(\displaystyle A\) felületű \(\displaystyle I\) áram által átjárt vezető keret mágneses momentuma \(\displaystyle m=IA\) nagyságú, az \(\displaystyle \boldsymbol{m}\) vektor merőleges a keret síkjára és az irányát a jobbkéz szabály adja meg. Homogén mágneses térben erre a vezető hurokra \(\displaystyle \boldsymbol{M}=\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{B}\) forgatónyomaték hat. (Ezt használjuk ki a mágneses indukció magnetométerrel való mérésekor.) Ezzel összhangban a vezető keret energiája egy általános helyzetben \(\displaystyle E=-\boldsymbol{m}\,\boldsymbol{B}\). Könnyen látható, hogy ennek az értéke \(\displaystyle -I\Phi\), ahol \(\displaystyle \Phi\) a vezető keret által körbefogott fluxus. Ez igaz inhomogén térben is. Fektessünk gondolatban a vezető keretre egy olyan hálót, aminek a különböző \(\displaystyle \Delta A_i\) nagyságú szemei már elég kicsik ahhoz, hogy a szemeken belül a \(\displaystyle \boldsymbol{B}_i\) teret állandónak vehessük, és képzeljük el, hogy minden kis hurokban \(\displaystyle I\) nagyságú köráram folyik.
3. ábra
Ezek a hálózat belső élei mentén kiejtik egymást, de a külső (nem csak gondolatban létező) éleken pont kiadják a hurok áramát. A teljes keret energiája e kicsiny hurkok energiájának az összegeként adható meg, ami \(\displaystyle E=-I\sum\Delta\Phi_i=-I\Phi\) a hurok felülete mentén változó mágneses indukció esetén is.
A fentiek alapján tehát elfogadhatjuk, hogy amikor a hajlékony vezető hurok olyan alakot vesz fel, hogy az energiát minimalizálja, azzal a körbefogott fluxust maximalizálja. Vegyünk egy olyan elrendezést, amelyben a kerítést reprezentáló drót két vége szabadon mozoghat a part vonala mentén futó pozitív és negatív elektródák mentén, és a part mellett egy megfelelő szélességű sávban a függőleges mágneses indukció kétszer akkora mint beljebb. (Ez egy idealizált helyzet, a mágneses indukció nem változhat nagyon élesen, hacsak nem folyik a két térrészt elválasztó felületen valamekkora felületi áram, de ezzel nem kell foglalkoznunk, feltételezhetjük, hogy az átmeneti tartomány keskeny.)
4. ábra
Egyrészt tudjuk, hogy egyensúlyban a terület értékét ,,reprezentáló'' fluxus maximális, másrészt a vezetékre ható erők alapján meg tudjuk mondani, milyen alakot vesz fel ilyenkor a keret. Ettől a ponttól kezdve – mivel a mágneses tér által az árammal átjárt vezetőre ható erő pontos analógiában van a felületi feszültség miatt a fonálra ható erővel –, a megoldás gondolatmenete lépésről lépésre követi az előző megoldás megfontolásait, és megállapíthatjuk, hogy a drót pontosan úgy feszül ki, mint ahogy a fonál a két folyadékhártya hatására.
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Kossár Benedek Balázs. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai