 |
A P. 5720. feladat (2026. március) |
P. 5720. Az ábrának megfelelően egy \(\displaystyle R=100~\Omega\) ellenállást, egy \(\displaystyle L=1~\mathrm{H}\) tekercset és négy egyforma \(\displaystyle {C=20~\mu\mathrm{F}}\) kondenzátort kapcsolunk össze. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokra \(\displaystyle {f=50~\mathrm{Hz}}\) frekvenciájú, \(\displaystyle U_\mathrm{eff}=220~\mathrm{V}\) váltóáramú feszültséget kapcsolunk.
a) Mekkora az áramkör hatásos teljesítménye?
b) Mekkorára módosítsuk a \(\displaystyle C\) kapacitásokat, hogy az áramkör meddő teljesítménye nulla legyen?
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. A négy \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor egyetlen, szintén \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátorral helyettesíthető (hiszen két sorban kapcsolt kondenzátor eredője \(\displaystyle C/2\), és ebből kettő van párhuzamosan kapcsolva), ahogy az 1. ábrán látható.
1. ábra
a) Az áramköri elemek közül csak az Ohmos ellenálláson fejlődik hő, csak annak van hasznos teljesítménye (így ebben a feladatrészben a kondenzátornak nincs szerepe). A sorba kapcsolt tekercs és Ohmos ellenállás eredő impedanciája:
\(\displaystyle Z_{RL}=\sqrt{R^2+(L\omega)^2},\)
ahol \(\displaystyle \omega=2\pi f=314\,\mathrm{s^{-1}}\). Az ágon átfolyó áramerősség:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle I_{RL}=\frac{U}{Z_{RL}},\) |
és így az Ohmos ellenálláson disszipálódó hasznos teljesítmény:
\(\displaystyle P_\mathrm{h}=RI_{RL}^2=\frac{RU^2}{R^2+(L\omega)^2}=44{,}5\,\mathrm{W}.\)
Megjegyzés. Alternatív megoldási lehetőség a feszültségosztó képlet használata:
\(\displaystyle U_R=\frac{R}{Z_{RL}}U=\frac{R}{\sqrt{R^2+(L\omega)^2}}U,\)
amiből
\(\displaystyle P_\mathrm{h}=\frac{U_R^2}{R}=\frac{RU^2}{R^2+(L\omega)^2},\)
az előző megoldással összhangban.
b) Az áramkör fázisviszonyait a 2. ábrán látható fazorábra mutatja. (A fazorok az egyes mennyiségek nagyságát és fázisát jelölő vektorok.) Az ellenállás \(\displaystyle U_R\) feszültsége fázisban van az \(\displaystyle RL\) ágon átfolyó \(\displaystyle I_{RL}\) árammal, a tekercs \(\displaystyle U_L\) feszültsége pedig \(\displaystyle 90^\circ\)-kal siet hozzá képest. A két feszültség eredője az \(\displaystyle U\) kapocsfeszültség, amely egyben a kondenzátor feszültsége is. A kondenzátor \(\displaystyle I_C\) árama ehhez képest \(\displaystyle 90^\circ\)-kal siet. Az egész áramkör \(\displaystyle I\) eredő árama \(\displaystyle I_{RL}\) és \(\displaystyle I_C\) eredője.
2. ábra
A meddő teljesítmény akkor tűnik el, ha \(\displaystyle I\) fázisban van \(\displaystyle U\)-val. Ez a feltétel meghatározza \(\displaystyle I_C\) nagyságát, a 2. ábra alapján
\(\displaystyle I_C=I_{RL}\sin\varphi,\)
ahol
\(\displaystyle \sin\varphi=\frac{U_L}{U}=\frac{L\omega}{Z_{RL}}.\)
Az (1) kifejezés felhasználásával:
\(\displaystyle I_C=\frac{U}{Z_{RL}}\,\frac{L\omega}{Z_{RL}}=\frac{L\omega}{Z_{RL}^2}U=\frac{L\omega}{R^2+(L\omega)^2}U.\)
Ebből a keresett \(\displaystyle C'\) kapacitás:
\(\displaystyle C'=\frac{I_C}{U\omega}=\frac{L}{R^2+(L\omega)^2}=9{,}2\,\mu\mathrm{F}.\)
Ekkora kapacitású kondenzátorra kellene cserélni az 1. ábrán látható kondenzátort, amivel egyenértékű, ha az eredeti áramkör mind a négy kondenzátorát ekkora kapacitásúra cseréljük.
II. megoldás. Váltakozó áramú áramkörök kényelmesen leírhatók komplex jelölésmóddal (lásd Olosz Balázs: Komplex számok a fizikában, II. rész: Váltóáramú feladatok megoldása komplex számokkal cikket lapunk 2024. májusi számában).
Az áramkör komplex impedanciája:
\(\displaystyle Z^\star=(R+L\omega i)\times\frac{1}{C\omega i}=\frac{R+L\omega i}{1-LC\omega^2+RC\omega i},\)
ebből a komplex teljesítmény:
\(\displaystyle P^\star=\frac{U^2}{Z^\star}=\frac{1-LC\omega^2+RC\omega i}{R+L\omega i}U^2=\frac{R+\left(C\omega\left(R^2+(L\omega)^2\right)-L\omega\right)i}{R^2+(L\omega)^2}U^2.\)
a) A hasznos teljesítmény ennek a valós része:
\(\displaystyle P_\mathrm{h}=\mathrm{Re}\,P^\star=\frac{R}{R^2+(L\omega)^2}U^2=44{,}5\,\mathrm{W}.\)
b) A meddő teljesítmény eltűnésének feltétele:
\(\displaystyle P_\mathrm{m}=\mathrm{Im}\,P^\star=\frac{C'\omega\left(R^2+(L\omega)^2\right)-L\omega}{R^2+(L\omega)^2}U^2=0,\)
amiből
\(\displaystyle C'=\frac{L}{R^2+(L\omega)^2}=9{,}2\,\mu\mathrm{F}.\)
Statisztika:
11 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Borsics Bendegúz, Bús László Teodor, Halmosi Dávid, Horváth Zsombor, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Török Tibor, Vértesi Janka. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai