 |
A P. 5721. feladat (2026. március) |
P. 5721. Fénysugár érkezik levegőből egy \(\displaystyle 1{,}5\) törésmutatójú üvegtömb sík felületére.
a) Mekkora a beesési szög, ha a beeső és a megtört sugár \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be egymással?
b) Maximálisan mekkora szöget zárhatnak be egymással a beeső és a megtört sugarak?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladatban megadott fénysugár az 1. ábrán látható. A beesési szöget \(\displaystyle \alpha\)-val, az eltérülés szögét \(\displaystyle \delta\)-val jelöltük.
1. ábra
a) Az eltérülés \(\displaystyle \delta=30^\circ\), a törési szög \(\displaystyle \beta=\alpha-30^\circ\). Ritkább közegből lép sűrűbbe a fény, ezért a \(\displaystyle 30^\circ\)-os eltérülés a törési szög kifejezésében levonódik a beesési szögből. A Snellius–-Descartes-törvény szerint
\(\displaystyle n\sin(\alpha-30^\circ)=\sin\alpha.\)
Bontsuk szét a két szög különbségének szinuszát:
\(\displaystyle n(\sin\alpha\cos30^\circ-\cos\alpha\sin30^\circ)=\sin\alpha.\)
Az egyenletet \(\displaystyle \cos\alpha\)-val elosztva egyetlen ismeretlen marad: \(\displaystyle \tg\alpha\). Írjuk be még a \(\displaystyle \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}\) és \(\displaystyle \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) ismert értékeket, és a törésmutatót.
\(\displaystyle 1{,}5\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\tg\alpha-\frac{1}{2}\right)=\tg\alpha\)
Ebből kifejezve először az ismeretlen \(\displaystyle \tg\alpha\)-t, majd pedig magát \(\displaystyle \alpha\)-t:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{3}{3\sqrt3-4}=2{,}508,\)
\(\displaystyle \alpha=\arctg 2{,}508=68{,}3^\circ.\)
b) Tetszőleges beesési szög esetén a Snellius–Descartes törvény:
\(\displaystyle n\sin(\alpha-\delta)=\sin\alpha\)
Kifejezve ebből az ismeretlen \(\displaystyle \delta\)-t:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \delta=\alpha-\arcsin\left(\frac{1}{n}\sin\alpha\right).\) |
Kérdés, hogy van-e \(\displaystyle \delta\)-nak maximuma az \(\displaystyle 0\le\alpha\le 90^\circ\) intervallumban. A megoldás végén megmutatjuk, hogy az (1) függvény szigorúan monoton nő az adott tartományban, ami szerint a maximum a tartomány szélén \(\displaystyle 90^\circ\)-os beesési szögnél lenne. Viszont ahogy \(\displaystyle \alpha\) közelít ehhez az értékhez, a megtört sugár intenzitása zérushoz tart, \(\displaystyle \delta\)-nak tehát itt nem maximuma, hanem \(\displaystyle \delta_k\) felső korlátja van:
\(\displaystyle \sin(90^\circ-\delta_k)=\cos\delta_k=\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle \delta_k=\arccos\frac{1}{n}=\arccos\frac{2}{3}=48{,}2^\circ.\)
Végül vizsgáljuk az említett monotonitást!
I. módszer. A törési törvény alapján:
\(\displaystyle \sin\beta=\frac{1}{n}\sin\alpha=K\,\textrm{(állandó)}.\)
2. ábra
A 2. ábrán legyen egy görbe meredeksége (deriváltja) egy \(\displaystyle P\) pontban \(\displaystyle m(P)\).
Egyrészt tudjuk, hogy \(\displaystyle m(A)>m(C)\), mert a szinusz függvény a \(\displaystyle \left[0,90^\circ\right]\) tartományban alulról konkáv (felülről konvex). Másrészt \(\displaystyle m(C)>m(B)\), mert a felső görbét az alsó \(\displaystyle n\)-szeres függőleges irányú nyújtásával kapjuk. Ezekből \(\displaystyle m(A)>m(B)\). Így ha \(\displaystyle K\)-t (\(\displaystyle \alpha\)-t és \(\displaystyle \beta\)-t) növeljük, akkor \(\displaystyle \alpha\) többet nő, mint \(\displaystyle \beta\), azaz \(\displaystyle \delta\equiv\alpha-\beta\) is monoton nő.
II. módszer. Az (1) függvény szigorúan monoton nő, mert a deriváltja pozitív:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}\alpha}=1-\frac{\frac{1}{n}\cos\alpha}{\sqrt{1-\frac{1}{n^2}\sin^2\alpha}}=1-\sqrt{\frac{\cos^2\alpha}{n^2-1+\cos^2\alpha}}>0,\)
hiszen a gyök alatti tört értéke 1-nél kisebb.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Békési Máté, Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Fuchs Vince, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rem Dániel, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Vincze Anna. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai