A P. 5722. feladat (2026. március)

P. 5722. Adjunk nagyságrendi becslést arra, hogy az atommag méretének megfelelő térrészbe bezárt elektronnak mekkora az impulzusbizonytalansága, és ez a klasszikus (nemrelativisztikus) fizika törvényei szerint mekkora sebességnek felel meg!

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A becsléshez a Heisenberg-féle határozatlansági relációt használjuk. Ennek értelmében a helymeghatározás \(\displaystyle \Delta x\) és az impulzus \(\displaystyle \Delta p\) bizonytalansága összefügg:

\(\displaystyle \Delta x\Delta p\geq\frac{h}{4\pi},\)

ahol \(\displaystyle h\) a Planck-állandó (\(\displaystyle 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}\)). \(\displaystyle \Delta x\)-nek az atommag átmérőjét vehetjük, ami a \(\displaystyle D=2R_0\sqrt[3]{A}\) formában adható meg. Itt \(\displaystyle R_0=1{,}42\cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}\), és \(\displaystyle A\) a nukleonok száma az adott atommagban (praktikusan az adott elem relatív atomtömege). Ez tág határok között változhat, alumínium esetében 27, ólom esetében 207, de ez alig befolyásolja a becslést, mert a köbgyökük csak egy kettes faktorban tér el. Használjuk az ólomhoz tartozó értéket! Ennek alapján

\(\displaystyle \Delta p\geq\frac{h}{8\pi R_0\sqrt[3]{A}}\simeq 3{,}1\cdot 10^{-21}\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s}}.\)

Az elektron tömege \(\displaystyle m_\mathrm{e}=9{,}1\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\), tehát a klasszikus fizika szerint az impulzus bizonytalanságnak megfelelő sebességbizonytalanság:

\(\displaystyle \Delta v=\frac{\Delta p}{m_\mathrm{e}}=3{,}4\cdot 10^9\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)

Ez körülbelül a fénysebesség tizenegyszerese, tehát azt mondhatjuk, hogy egy nagyságrenddel nagyobb, mint az.

Megjegyzések. 1. Becslésünkben egy dimenzióra korlátozódtunk, de ez a nagyságrenden nem változtat: ha figyelembe vesszük, hogy háromdimenziós kiterjedésről van szó, az legfeljebb egy \(\displaystyle \sqrt{3}\)-as faktort jelenthet csak.

2. Eredményünkből nem következik, hogy az elektront ne lehetne – legalábbis elvileg – egy ilyen kis térrészbe lokalizálni, csak az, hogy ilyenkor nem használhatjuk a nemrelativisztikus megfontolásokat.

Statisztika:

A P. 5722. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai