A P. 5723. feladat (2026. március)

P. 5723. Kétágú létrához hasonló szerkezetet láthatunk az ábrán. A függőleges síkban elhelyezett, vékony, homogén rudakat súrlódásmentes, könnyű csukló köti össze. A rudak $\displaystyle \ell$ hosszúak, $\displaystyle m$ tömegűek, a talajon lévő végükön könnyű görgők találhatók, amelyek biztosítják, hogy a vízszintes felületen súrlódásmentesen csúszhasson szét a ,,létra''. Kezdetben a két rúd által bezárt szög $\displaystyle 2\alpha$. Ebből a helyzetből indítjuk el lökésmentesen a szerkezetet. Szétcsúszás közben a rudak a kezdetben felvett függőleges síkban mozognak.

a) Mekkora sebességgel csapódik a vízszintes talajra a $\displaystyle C$ csukló?

b) Az indítást követő pillanatban mekkora az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontok gyorsulása?

c) A talajra csapódás előtti pillanatban mekkora az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ pontok gyorsulása?

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. április 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. A feladat nagyon hasonlít ahhoz, amikor egy vízszintes talajon álló, súrlódásmentes rudat függőleges falhoz támasztunk, majd elengedjük. A különbség az, hogy a létra tetőpontjában nemcsak nyomóerő, hanem húzóerő is ébredhet, ezért a $\displaystyle C$ pont mindvégig függőlegesen mozog. A hasonlóság viszont az, hogy a tetőpontban mindig vízszintes az egyes létraszárakra ható erő, mert a szimmetria miatt a csuklóban nem lehet ferde a feszítőerő. Ugyancsak hasonlóság, hogy a létra legfelső pontja függőlegesen lefelé mozog, ezért ennek a pontnak a sebessége és a gyorsulása is függőleges, illetve a létra talajjal érintkező pontja mindvégig vízszintesen mozog, ezért a legalsó pontnak a sebessége és gyorsulása is mindvégig vízszintes. Az egyes létraszárak középpontja $\displaystyle \ell/2$ sugarú körökön mozog, melynek középpontja a $\displaystyle C$ pont talajra érkezési helye.

a) Elegendő az egyik rudat vizsgálni. A becsapódás pillanatában az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok megállnak, ezeket pillanatnyi forgástengelynek tekinthetjük, és így felírhatjuk a gravitációs helyzeti energia forgási energiává alakulását:

$\displaystyle mg\frac{\ell}{2}\cos\alpha=\frac{1}{2}\Theta\omega^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}m\ell^2\right)\omega^2\qquad\rightarrow\qquad\omega=\sqrt{\frac{3g\cos\alpha}{\ell}}.$

Ezzel megkaphatjuk a $\displaystyle C$ pont kérdéses leérkezési sebességét: $\displaystyle v_C=\sqrt{3g\ell\cos\alpha}$.

b) Vizsgáljuk csak a jobb oldali létraszárat. Az 1. ábra a rúdra ható erőket mutatja: az $\displaystyle F$ erő vízszintes, $\displaystyle mg$ és $\displaystyle K$ függőleges.

1. ábra

Írjuk fel a dinamikai egyenleteket a tömegközéppont $\displaystyle a_x$ és $\displaystyle a_y$ gyorsulására, valamint a rúd szöggyorsulására a tömegközéppont körül:

$$\begin{gather*} F=ma_x,\\ mg-K=ma_y,\\ K\frac{\ell}{2}\sin\alpha-F\frac{\ell}{2}\cos\alpha=\Theta\beta=\left(\frac{1}{12}m\ell^2\right)\beta. \end{gather*}$$

A kényszerfeltételek felírásakor azt használjuk ki, hogy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok gyorsulása mindig vízszintes, míg a $\displaystyle C$ pont gyorsulása mindvégig függőleges, illetve azt is észrevehetjük, hogy a kezdőpillanatban a tömegközéppont gyorsulása az általa leírt kör érintőjébe mutat (később ehhez hozzáadódik a centripetális gyorsulás járuléka is):

$$\begin{gather*} a_y=\frac{\ell}{2}\beta\sin\alpha,\\ a_x=\frac{\ell}{2}\beta\cos\alpha,\\ \frac{a_y}{a_x}=\tg\alpha. \end{gather*}$$

Ezekből az egyenletekből megkaphatjuk a tömegközéppont gyorsulásának vízszintes és függőleges összetevőjét:

$$\begin{gather*} a_x=\frac{3}{4}g\sin\alpha\cos\alpha,\\ a_y=\frac{3}{4}g\sin^2\alpha, \end{gather*}$$

továbbá megkaphatjuk a kérdéses kezdőpillanatbeli gyorsulásokat is:

$$\begin{gather*} a_A=a_B=a_x+\frac{\ell}{2}\beta\cos\alpha=2a_x=\frac{3}{2}g\sin\alpha\cos\alpha,\\ a_C=a_y+\frac{\ell}{2}\beta\sin\alpha=2a_y=\frac{3}{2}g\sin^2\alpha. \end{gather*}$$

c) Amikor a $\displaystyle C$ csukló a talajra csapódik, akkor az $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$ pontok sebessége nulla, de a gyorsulásuk nem nulla! Becsapódáskor a tömegközéppont sebessége (ahogy azt az a) pontban kiszámoltuk):

$\displaystyle v_\mathrm{tkp}=\frac{v_C}{2}=\sqrt{\frac{3}{4}g\ell\cos\alpha}.$

Ebből megkaphatjuk a tömegközéppont centripetális gyorsulását (ami ebben az esetben vízszintes):

$\displaystyle a_\mathrm{cp}=\frac{v_\mathrm{tkp}^2}{\ell/2}=\frac{3}{2}g\cos\alpha.$

Ebből az is következik, hogy a csuklóban a becsapódás pillanatában $\displaystyle F=\frac{3}{2}mg\cos\alpha$ nagyságú, vízszintes húzóerőnek kell fellépni.

A $\displaystyle C$ pont mindvégig függőlegesen mozog, ezért nincs vízszintes gyorsulása, a tömegközéppontnak viszont a talajra csapódás előtti pillanatban $\displaystyle a_\mathrm{cp}=\frac{3}{2}g\cos\alpha$ vízszintes gyorsulás összetevője van. Ez jelenti a rúd vízszintes gyorsulásának átlagát, amiből az következik, hogy a talajra csapódás pillanatában, amikor a rúd már vízszintes, az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok gyorsulása a fenti centripetális gyorsulás kétszerese:

$\displaystyle a_A'=a_B'=2a_\mathrm{cp}=3g\cos\alpha.$

A $\displaystyle C$ pont becsapódási (függőleges irányú) gyorsulását leggyorsabban úgy kaphatjuk meg, ha a pillanatnyi forgástengelyre (az $\displaystyle A$ vagy a $\displaystyle B$ pontra) felírjuk a forgómozgás dinamikai egyenletét:

$\displaystyle mg\frac{\ell}{2}=\Theta\beta=\frac{1}{3}m\ell^2\beta\qquad\Rightarrow\qquad a_C'=\ell\beta=\frac{3}{2}g.$

Ebből az is következik, hogy becsapódáskor a rúd tömegközéppontjának függőleges gyorsulás összetevője $\displaystyle \frac{3}{4}g$, illetve ekkor a talaj kényszerereje $\displaystyle K=\frac{mg}{4}$, és ezek az utóbbi eredmények függetlenek attól, hogy milyen szöghelyzetből indult a létra.

II. megoldás. A feladatot az energiamegmaradás törvényének felhasználásával is meg lehet oldani. Az elrendezés tükrözési szimmetriája miatt elegendő, ha csak az egyik (mondjuk a jobb oldali) rúd mozgását vizsgáljuk. A $\displaystyle C$ pont mindig függőlegesen mozog (lefelé), a $\displaystyle B$ pont pedig vízszintesen (jobbra).

b) Tételezzük fel, hogy a $\displaystyle C$ pont $\displaystyle a_C$ gyorsulással indul el lefelé, tehát egy kicsiny $\displaystyle \Delta t$ idő alatt (amíg a gyorsulást állandónak tekinthetjük) $\displaystyle \frac{1}{2}a_C(\Delta t)^2$ távolsággal mélyebbre kerül, a sebessége pedig $\displaystyle v_C=a_C\Delta t$ lesz. A rúd pillanatnyi elfordulásának középpontja (a mozgás ún. momentán centruma) a középpontjától $\displaystyle \ell/2$ távolságban, a 2. ábrán látható $\displaystyle O$ pontban, a $\displaystyle C$ ponttól $\displaystyle \ell\sin\alpha$ távol lesz. Erre a pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (a Steiner-tétel szerint)

$\displaystyle \Theta=\frac{1}{12}m\ell^2+m\left(\frac{\ell}2\right)^2=\frac{1}{3}m\ell^2.$

2. ábra

A rúd szögsebessége (mint a $\displaystyle CO$ szakasz elfordulásából látszik)

$\displaystyle \omega=\frac{a_C\Delta t}{\ell\sin\alpha},$

a rúd $\displaystyle \Delta t$ idő elteltével

$\displaystyle E_\text{mozgási}=\frac{1}{2}\Theta\omega^2=\frac{m}{6}\left(\frac{a_C\Delta t}{\sin\alpha}\right)^2$

mozgási (forgási) energiára tesz szert. Eközben a rúd (tömeg)középpontja függőleges irányban $\displaystyle \tfrac{1}{2}\tfrac{a_C}{2}(\Delta t)^2$ távolságnyit mozdul el, tehát a rúd helyzeti energiájának csökkenése

$\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}=\frac{1}{4}mga_C(\Delta t)^2.$

Súrlódásmentes körülmények között a mechanikai energia állandó marad, tehát

$\displaystyle E_\text{mozgási}=\Delta E_\text{helyzeti},$

ahonnan a keresett gyorsulás függőlegesen lefelé:

$\displaystyle a_C=\frac{3}{2}g\sin^2\alpha.$

Számítsuk ki most a $\displaystyle B$ pont vízszintes (jobbra mutató) $\displaystyle a_B$ gyorsulását az indítást követő pillanatban. A rúd alsó pontja $\displaystyle \Delta t$ idő elteltével $\displaystyle a_B\Delta t$ sebességgel mozog jobbra, a rúd teteje pedig $\displaystyle a_C\Delta t$ sebességgel mozog függőlegesen lefelé. Ezen sebességeknek a rúd irányú vetülete ugyanakkora kell, hogy legyen, hiszen a rúd hossza állandó.

$\displaystyle a_B\Delta t\cdot\sin\alpha=a_C\Delta t\cdot\cos\alpha.$

Innen ($\displaystyle a_C$ fentebb kiszámított értékét behelyettesítve) kapjuk, hogy

$\displaystyle a_B=\frac{3}{2}g\sin\alpha\,\cos\alpha.$

Az $\displaystyle A$ pont – nyilván – ugyanekkora gyorsulással indul el balra.

a) A rúd földet érését megelőző pillanatban a $\displaystyle B$ pont sebessége nulla, a $\displaystyle C$ pont pedig valamekkora (függőleges irányú) $\displaystyle v_C$ sebességgel rendelkezik. A rúd $\displaystyle B$ körüli forgásának szögsebessége ekkor $\displaystyle \omega=v_C/\ell$, mozgási energiája tehát

$\displaystyle E=\frac{1}{2}\frac{m\ell^2}{3}\omega^2=\frac{1}{6}mv_C^2.$

Ez az energia megegyezik a helyzeti energia $\displaystyle mg\tfrac{\ell\cos\alpha}{2}$ csökkenésével, innen kapjuk, hogy

$\displaystyle v_C=\sqrt{3g\ell\cos\alpha}.$

c) Hátravan még, hogy meghatározzuk a rúd végpontjainak gyorsulását a becsapódást megelőző pillanatban. (Ezeket, hogy megkülönböztessük az induláskori gyorsulásoktól, jelöljük $\displaystyle a'_C$-vel és $\displaystyle a'_B$-vel.)

A $\displaystyle C$ pont sebessége a becsapódáskor a fentebb kiszámított $\displaystyle v_C$, a becsapódást kicsiny $\displaystyle \Delta t$ idővel megelőző pillanatban pedig $\displaystyle v_C-a_C\Delta t$. A rúd középpontja $\displaystyle v_C/2$ sebességgel süllyed, a helyzeti energia tehát $\displaystyle \Delta t$ idő alatt $\displaystyle \tfrac{1}{2}mgv_C\Delta t$ értékkel csökken. Ez a csökkenés a rúd mozgási energiájának növekedésével egyezik meg. Mivel a $\displaystyle B$ végpontja körül forgó rúd szögsebessége $\displaystyle \tfrac{v_C-a_C\Delta t}{\ell}$-ről $\displaystyle \tfrac{v_C }{\ell}$-re nőtt, az energiamérleg:

$\displaystyle \frac{1}{2}\,\frac{m\ell^2}{3}\left(\frac{v_C^2}{\ell^2}-\frac{(v_C-a_C\Delta t)^2}{\ell^2}\right)=\frac{1}{2}mgv_C\Delta t.$

Innen – a $\displaystyle (\Delta t)^2$-tel arányos, ún. másodrendűen kicsiny tag elhanyagolásával – kapjuk, hogy a becsapódást megelőző pillanatokban a $\displaystyle C$ pont

$\displaystyle a_C'=\frac{3}{2}g$

nagyságú, függőlegesen lefelé irányuló gyorsulással mozog. Érdekes, hogy ez a gyorsulás nem függ az indulás $\displaystyle \alpha$ szögétől, tehát a $\displaystyle C$ pont becsapódásának sebességétől is független.

Utolsó feladatunk az $\displaystyle a_B'$ gyorsulás meghatározása. Mivel a $\displaystyle B$ pont mindvégig vízszintesen mozgott, a gyorsulása is vízszintes kell, hogy legyen. A rúd $\displaystyle v_C/\ell$ szögsebességgel forog a $\displaystyle B$ pont körül, így (ha a jobbra mutató irányt tekintjük pozitívnak) a $\displaystyle C$ pont gyorsulása vízszintes irányban

$\displaystyle a'_C=a_B'+\ell\frac{v_c^2}{\ell^2}.$

No de $\displaystyle C$ nem gyorsul vízszintes irányban, vagyis

$\displaystyle a'_B=-3g\cos\alpha.$

Ezek szerint a becsapódáskor a $\displaystyle B$ pont balra gyorsul, ami nem meglepő, hiszen a jobbra mutató sebességének nagysága nullára csökken.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Erdélyi Dominik, Horváth Zsombor, Mezei Marcell, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Szabó Tamás, Tasnádi Zsófia.

5 pontot kapott: Simon János Dániel.

4 pontot kapott: 3 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2026. márciusi fizika feladatai

12 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Erdélyi Dominik, Horváth Zsombor, Mezei Marcell, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Szabó Tamás, Tasnádi Zsófia.
5 pontot kapott:	Simon János Dániel.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?