 |
A P. 5727. feladat (2026. április) |
P. 5727. Egy függőleges helyzetű, \(\displaystyle 2~\mathrm{dm}^2\) keresztmetszetű, hőszigetelt hengerben lévő \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) magas légoszlopot \(\displaystyle 8~\mathrm{kg}\) tömegű dugattyú zár be. A külső légnyomás \(\displaystyle 100~\mathrm{kPa}\). A bezárt gáz nyomása akkora, hogy képes lenne felfelé tolni a dugattyút, amit állandó nagyságú, lefelé mutató erővel tartunk stabilan. Egy adott pillanatban elengedjük a dugattyút, és hagyjuk, hogy a \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-rel fölötte lévő ütközőig mozogjon. Egy fűtőszállal biztosítjuk, hogy a tartályban lévő levegő állandó gyorsulással mozgassa a dugattyút.
a) Mennyi kezdetben a levegő nyomása, ha a dugattyú súrlódásmentes mozgása \(\displaystyle 0{,}2\) másodpercig tart?
b) Adjuk meg a fűtőszál teljesítményét az idő függvényében!
Közli: Kis Tamás, Heves
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A megadott mennyiségeket jelöljük a következőképp: \(\displaystyle A=2\,\mathrm{dm}^2\), \(\displaystyle h=30\,\mathrm{cm}\), \(\displaystyle m=8\,\mathrm{kg}\), \(\displaystyle p_0=100\,\mathrm{kPa}\), \(\displaystyle d=10\,\mathrm{cm}\), \(\displaystyle t=0{,}2\,\mathrm{s}\). A dugattyú mozgása során:
\(\displaystyle a=\frac{2d}{t^2}=\frac{2\cdot 0{,}1\,\mathrm{m}}{(0{,}2\,\mathrm{ s})^2}=5\,\mathrm{m/s}^2\)
állandó gyorsulással mozog. A dugattyút a két oldalán levő nyomások különbségéből származó erő gyorsítja. Ha állandó a gyorsulása, akkor a hengeren belüli nyomás is állandó:
\(\displaystyle p_1=p_0+\frac{m(g+a)}{A}=100\,\mathrm{kPa}+\frac{8\,\mathrm{kg}\cdot\left(9{,}81\,\mathrm{m/s}^2+5\,\mathrm{m/s}^2\right)}{0{,}02\,\mathrm{m}^2}=106\,\mathrm{kPa}.\)
A hengerben a gáz állandó nyomáson tágul, ehhez melegíteni kell. A fűtés teljesítménye az időegység alatt felvett hő:
\(\displaystyle P=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{\frac{7}{2}p_1\Delta V}{\Delta t}=\frac{\frac{7}{2}p_1A\Delta h}{\Delta t}=\frac{7}{2}p_1Av=\frac{7}{2}p_1Aat= 3{,}5\cdot106\,\mathrm{kPa}\cdot0{,}02\,\mathrm{m}^2\cdot5\,\mathrm{m/s}^2\cdot t=37\,\mathrm{kW/s}\cdot t.\)
Közben felhasználtuk, hogy a kétatomos gáz állandó nyomáson 3,5-ször annyi hőt vesz fel, mint a tágulási munka. A dugattyú fűtésének teljesítménye tehát időben egyenletesen növekszik, a tágulás alatt 0-ról \(\displaystyle 7{,}4\,\mathrm{kW}\)-ra.
Statisztika:
A P. 5727. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai