 |
A P. 5728. feladat (2026. április) |
P. 5728. Az alábbi ábrán látható végtelen hálózatban minden ellenállás azonos \(\displaystyle R\) ellenállású, minden kondenzátor azonos \(\displaystyle C\) kapacitású és minden tekercs azonos \(\displaystyle L\) induktivitású.
Adjuk meg a hálózatba befolyó áramerősséget az idő függvényében, ha az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontok közé \(\displaystyle U_{A,B}=U_{\mathrm{max}}\sin\omega t\) függvény szerint váltakozó feszültséget kapcsolunk!
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle A\) pont potenciálja
\(\displaystyle U_A=+\frac{1}{2}U_\mathrm{max}\sin\omega t,\)
a \(\displaystyle B\) ponté pedig
\(\displaystyle U_B=-\frac{1}{2}U_\mathrm{max}\sin\omega t.\)
Ha a kapcsolást a kondenzátorok és a tekercsek által kijelölt átlóra tükrözzük, minden csomópontban a potenciál a \(\displaystyle (-1)\)-szeresére változik. Másrészt a kapcsolás szimmetriája miatt a tükrözéskor az átló minden pontjában a potenciál változatlan marad. Ez a két feltétel akkor teljesül egyszerre, ha a kondenzátorok, illetve a tekercsek végpontjai mind nulla potenciálúak, azaz ekvipotenciálisak.
Ekvipotenciális pontok között nem folyik áram, tehát az árameloszlás nem változik meg akkor, ha valamennyi kondenzátort és valamennyi tekercset eltávolítjuk a kapcsolásból.
A maradék elemek mindegyike ohmos ellenállás. A legbelső négyzetben két-két \(\displaystyle R\) nagyságú ellenállás sorosan (eredőjük tehát \(\displaystyle 2R\)), ezek pedig párhuzamosan vannak kapcsolva, az eredőjük tehát \(\displaystyle R\). A következő négyzet 4 ellenállása \(\displaystyle 2R\), az rákövetkezők \(\displaystyle 4R\), \(\displaystyle 8R\) stb. ellenállással helyettesíthetők.
Az egész kapcsolás eredője párhuzamosan kapcsolt \(\displaystyle R,\,2R,\,4R,\,8R,\,\ldots\) ellenállásokból számolható:
\(\displaystyle \frac{1}{R_\textrm{eredő}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R}+\frac{1}{8R}+\ldots=\frac{2}{R},\)
vagyis \(\displaystyle R_\textrm{eredő}=R/2.\) Ennek megfelelően a kapcsoláson az idő függvényében
\(\displaystyle I(t)=\frac{U_{A,B}}{R_\textrm{eredő}}=\frac{2U_\mathrm{max}}{R}\sin\omega t\)
áram folyik keresztül.
Statisztika:
A P. 5728. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai