A P. 5729. feladat (2026. április)

P. 5729. Két azonos $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle +q$ és $\displaystyle -q$ töltésű pontszerű test kezdetben egymástól $\displaystyle d$ távolságra, nyugalomban van. Ha a testeket egyszerre elengedjük, akkor egy idő után összeütköznek. Ha a kísérletet megfelelő erősségű, a testeket összekötő szakaszra merőleges irányú, homogén mágneses mező jelenlétében ismételjük meg, akkor a testek nem ütköznek össze.

A 2025. évi Eötvös-versenyen kitűzött feladat megoldása (lásd lapunk 2026. januári számában) szerint az ütközés elkerüléséhez szükséges mágneses indukció minimális értéke: $\displaystyle B_{\mathrm{min}}={4\sqrt{km/d^3}}$.

a) Numerikus módszerekkel határozzuk meg és ábrázoljuk a töltések pályáját $\displaystyle B=\tfrac{4}{5}B_{\mathrm{min}}$, $\displaystyle B\approx B_{\mathrm{min}}$ és $\displaystyle B=\tfrac{5}{4}B_{\mathrm{min}}$ mágneses indukció esetén!

b) $\displaystyle B<B_{\mathrm{min}}$ esetén határozzuk meg és ábrázoljuk $\displaystyle B/B_{\mathrm{min}}$ függvényében a töltések összeütközéséig eltelő időt!

c) $\displaystyle B>B_{\mathrm{min}}$ esetén a töltések periodikusan újra és újra $\displaystyle d$ távolságra távolodnak egymástól. Határozzuk meg és ábrázoljuk $\displaystyle B/B_{\mathrm{min}}$ függvényében ezt a periódusidőt!

A numerikus megoldáshoz segítség: Csóka Péter, Seprődi Barnabás: Fizika problémák megoldása numerikus módszerrel lapunk 2024. novemberi számában.

Közli: Vankó Péter, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A szimmetria miatt elég az egyik test mozgását vizsgálnunk. Legyen az origó a két töltést összekötő szakasz felezőpontján, és mutasson az $\displaystyle x$ tengely az egyik töltés irányába, az $\displaystyle y$ tengely pedig legyen erre merőleges (1. ábra).

1. ábra

A mozgásegyenletek:

$$\begin{gather*} ma_x=-\frac{kq^2}{(2x)^2}+qBv_y,\\ ma_y=-qBv_x. \end{gather*}$$

Vezessük be a $\displaystyle \beta=B/B_\mathrm{min}$, $\displaystyle T=t/\tau$, $\displaystyle X=x/d$, $\displaystyle Y=y/d$, $\displaystyle V_X=\tau v_x/d$, $\displaystyle V_Y=\tau v_y/d$, $\displaystyle A_X=\tau^2a_x/d$ és $\displaystyle A_Y=\tau^2a_y/d$ dimenziótlan mennyiségeket, ahol $\displaystyle \tau=\sqrt{md^3/(kq^2)}$ a rendszer adataitól függő idő dimenziójú állandó. Ezekkel a mozgásegyenletek:

$$\begin{gather*} A_X=-\frac{1}{4X^2}+4\beta V_Y,\tag{1}\\ A_Y=-4\beta V_X.\tag{2} \end{gather*}$$

A $\displaystyle T=0$ időpillanatban $\displaystyle X=\tfrac{1}{2}$, $\displaystyle Y=0$ és $\displaystyle V_X=V_Y=0$. A feladatban hivatkozott cikk módszerét alkalmazva:

$$\begin{gather*} V_X(T+\Delta T)=V_X(T)+A_X(T)\cdot\Delta T,\\ V_Y(T+\Delta T)=V_Y(T)+A_Y(T)\cdot\Delta T,\\ X(T+\Delta T)=X(T)+V_X(T)\cdot\Delta T,\\ Y(T+\Delta T)=Y(T)+V_Y(T)\cdot\Delta T, \end{gather*}$$

ahol $\displaystyle \Delta T$ az elvárt pontosságnak megfelelően kicsiny időtartam, $\displaystyle A_X(T)$ és $\displaystyle A_Y(T)$ pedig az (1) és (2) összefüggések alapján számítható. Ezt a rekurzív képletet bármilyen program (vagy akár Excel táblázatkezelő) segítségével a kezdeti állapotból kiindulva alkalmazhatjuk, majd az így nyert adatokból a feladatban kért grafikonokat elkészíthetjük.

a) A $\displaystyle B<B_\mathrm{min}$ esetben figyelnünk kell a rekurzió leállítására: $\displaystyle X\approx 0$ esetén a két töltés összeütközik, ezután a képletek értelmetlen eredményeket generálnak. A $\displaystyle B\approx B_\mathrm{min}$ esetben az eredeti versenyfeladatban kiszámított minimális távolság ($\displaystyle X=\tfrac{1}{4}$) közelében könnyen instabillá válik a – véges $\displaystyle \Delta T$ miatt szükségszerűen közelítő – számítás, így itt érdemes a $\displaystyle B\lessapprox B_\mathrm{min}$ és $\displaystyle B\gtrapprox B_\mathrm{min}$ értékekkel is számolni. A 2. ábrán a töltések pályája látható különböző $\displaystyle \beta=B/B_\mathrm{min}$ értékek esetén. (A feladatban kért görbék vastagabb vonallal.)

2. ábra

b-c) Ugyanazt a rekurziót futtatjuk különböző $\displaystyle \beta$ paraméterrel, de most nem az $\displaystyle X$-$\displaystyle Y$ párokat rögzítjük, hanem azt figyeljük, mikor éri el $\displaystyle X$ valamelyik határfeltételt ($\displaystyle B<B_\mathrm{min}$ esetében az $\displaystyle X\approx 0$-t, $\displaystyle B>B_\mathrm{min}$ esetében pedig az $\displaystyle X\approx\tfrac{1}{2}$-et a kezdőállapot utáni első alkalommal). A $\displaystyle T_\textrm{ü}$ ütközési időket, illetve a $\displaystyle T_\mathrm{p}$ periódusidőket ($\displaystyle \tau$ egységekben) egy közös grafikonban a 3. ábra mutatja $\displaystyle \beta$ függvényében. Az 1. ábrán látható módon $\displaystyle \beta=1$ esetében a töltések aszimptotikusan tartanak az $\displaystyle X=\pm\tfrac{1}{4}$ értékhez, így itt se ütközés, se periodikus mozgás nem alakul ki. $\displaystyle \beta\approx 1$ esetében $\displaystyle T_\textrm{ü}\to\infty$ és $\displaystyle T_\mathrm{p}\to\infty$.

3. ábra

Statisztika:

A P. 5729. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?