 |
A P. 5731. feladat (2026. április) |
P. 5731. Ha egy igen nagy energiájú gamma-foton álló elektronnal ütközik, akkor párkeltés következhet be, sőt megtörténhet, hogy nem egy elektron-pozitron pár keletkezik, hanem több.
a) Legalább mekkora a gamma-foton energiája, ha a folyamatban \(\displaystyle n\) elektron-pozitron pár keletkezik?
b) Legalább mekkora lesz a keletkező részecskék sebessége a párkeltés után?
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. a) Relativisztikusan kell számolni. A gamma-foton energiája akkor minimális, ha a keletkező \(\displaystyle 2n+1\) részecske egy kupacban repül a párkeltést kiváltó foton eredeti mozgásának irányában. Írjuk fel az impulzus- és az energiamegmaradási egyenleteket:
\(\displaystyle p=(2n+1)p_\mathrm{e}\qquad\textrm{és}\qquad pc+mc^2=\sqrt{((2n+1)p_\mathrm{e}c)^2+((2n+1)mc^2)^2},\)
ahol \(\displaystyle p\) a gamma-foton impulzusa, \(\displaystyle m\) az elektron vagy a pozitron tömege, \(\displaystyle p_\mathrm{e}\) pedig ezeknek az együtt mozgó részecskéknek az impulzusa. Az impulzusegyenletet felhasználva, továbbá az energiaegyenletet négyzetre emelve ezt kapjuk:
\(\displaystyle (pc+mc^2)^2=(pc)^2+\left((2n+1)mc^2\right)^2,\)
amiből
\(\displaystyle pc=hf=2n(n+1)mc^2.\)
A párkeltést kiváltó gamma-foton minimális energiája ennek megfelelően egyetlen elektron-pozitron pár esetén \(\displaystyle 4mc^2\), két pár esetén \(\displaystyle 12mc^2\), három pár esetén \(\displaystyle 24mc^2\) és így tovább. Láthatjuk, hogy a minimálisan szükséges energia a párok számával erősen növekszik. A foton energiája egyenesen arányos az impulzusával, és így a nagyobb energiához nagyobb impulzus is tartozik, amit a keletkező kupacnak kell elvinni.
b) A \(\displaystyle 2n+1\) részecskéből álló kupac sebessége így kapható meg:
\(\displaystyle hf+mc^2=pc+mc^2=2n(n+1)mc^2+mc^2=\frac{(2n+1)mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\)
amiből
\(\displaystyle v=\frac{2n(n+1)c}{2n(n+1)+1}.\)
Ennek megfelelően a keletkező kupac minimális sebessége egyetlen elektron-pozitron pár esetén \(\displaystyle \tfrac{4}{5}c\), két pár esetén \(\displaystyle \tfrac{12}{13}c\), három pár esetén \(\displaystyle \tfrac{24}{25}c\) és így tovább. A kupac sebessége a párok számának növekedtével erősen tart a \(\displaystyle c\) fénysebességhez.
II. megoldás. Relativisztikus részecskefizikában kényelmes, ha nem SI, hanem \(\displaystyle \hbar=c=1\) egységrendszerben számolunk. Ebben a rendszerben egy \(\displaystyle f\) frekvenciájú foton energiája is és az impulzusa is \(\displaystyle \omega\) nagyságú (ahol \(\displaystyle \omega=2\pi f\). Az energiát és az impulzust érdemes egy vektor (az energia-impulzus vektor) két komponensének tekinteni: \(\displaystyle P_\textrm{foton}=(\omega,\,\omega)\). Ugyanezek a mennyiségek egy álló elektronra \(\displaystyle P_\textrm{elektron}=(m,\,0)\), az \(\displaystyle n+1\) elektronból és \(\displaystyle n\) pozitronból álló ,,kupacra'' pedig \(\displaystyle P_\textrm{kupac}=(E,\,p)\). (\(\displaystyle m=510\,\mathrm{keV}\) az elektron tömege, ami megegyezik a pozitron tömegével.)
Az energia és az impulzus megmaradási törvénye szerint
\(\displaystyle P_\textrm{foton}+P_\textrm{elektron}=P_\textrm{kupac},\)
vagyis \(\displaystyle E=\omega+m\) és \(\displaystyle p=\omega\).
Egy részecske tömegének négyzete az energia négyzetének és az impulzus négyzetének különbségével egyenlő. Fotonra \(\displaystyle m_\textrm{foton}^2=\omega^2-\omega^2=0\), álló elektronra \(\displaystyle m_\textrm{elektron}^2=m^2-0\), a együtt mozgó kupacra pedig \(\displaystyle m_\textrm{kupac}^2=(2n+1)^2m^2\). Ennek megfelelően
\(\displaystyle (\omega+m)^2-\omega^2=(2n+1)^2m^2,\)
vagyis a gamma-foton szükséges legkisebb energiája
\(\displaystyle \omega=2n(n+1)m\approx n(n+1)\,\mathrm{MeV}.\)
Az egy kupacban mozgó (tehát egyetlen részecskének tekinthető) ,,nyaláb'' sebessége
\(\displaystyle v=\frac{p}{E}=\frac{\omega}{\omega+m}=\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}.\)
Statisztika:
A P. 5731. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai