A P. 5732. feladat (2026. április)

P. 5732. Egy $\displaystyle M$ tömegű ember egy kötélhágcsó alján lóg. A hágcsó két, elhanyagolható tömegű, párhuzamos kötélből áll, amelyeket $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle \ell$ hosszúságú, merev létrafokok kötnek össze. A létrafokok közötti távolság $\displaystyle h$. Az ember tömege a fokok össztömegénél sokkal nagyobb.

Mekkora a hágcsón terjedő, hosszú hullámú, kis szögű torziós hullámok sebessége?

Közli: Vigh Máté, Herceghalom

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Úgy tekintjük, hogy a két kötél közötti középvonal függőleges és végig mozdulatlan, továbbá a két kötélre nézve teljes szimmetriát feltételezünk. A hágcsó fokait föntről lefelé számozzuk, az egyes fokoknak a nyugalmi helyzetükhöz viszonyított elfordulását $\displaystyle \varphi_n$-nel jelöljük. A hágcsó egy darabját az ábra mutatja. Ezen bejelöltük a hágcsó képzeletbeli tengelyét, és azokat a köröket is, amiken a fokok végei mozoghatnak.

Az egyes létrafokokra ható forgatónyomatékot az alábbiak szerint határozhatjuk meg. Legyen az $\displaystyle n$-edik és $\displaystyle n+1$-edik fok közötti kötéldarabokban ható erő nagysága $\displaystyle K_{n,n+1}$. Ennek a vízszintes vetülete (feltételezve, hogy a szomszédos fokok relatív elfordulása olyan kicsi, hogy a $\displaystyle (\varphi_{n+1}-\varphi_n)\approx\sin(\varphi_{n+1}-\varphi_n)\approx\tg (\varphi_{n+1}-\varphi_n)$ és a $\displaystyle \cos(\varphi_{n+1}-\varphi_n)\approx 1$ közelítések alkalmazhatók) a

$\displaystyle K_{n,n+1}\frac{\ell}{2h}(\varphi_{n+1}-\varphi_n).$

alakban adható meg. Ez a komponens ugyan nem pontosan merőleges a létrafokra (az $\displaystyle \frac{\ell}{2}(\varphi_{n+1}-\varphi_n)$ ívhez tartozó húr irányába mutat, bár az ábra felbontása ezt nem adja vissza), de az adott közelítésben elegendő pontossággal merőlegesként kezelhető, így a két kötél közötti szimmetriát is figyelembe véve az $\displaystyle n+1$-edik fok miatt az $\displaystyle n$-edikre ható erőpár forgatónyomatéka:

$\displaystyle M_{n,n+1}=K_{n,n+1}\frac{\ell^2}{2h}\left(\varphi_{n+1}-\varphi_n\right).$

($\displaystyle M_{n,n+1}$ relatív hibája $\displaystyle (\varphi_{n+1}-\varphi_n)^2$ nagyságrendű, ez ugyanakkora hiba, mint pl. az inga mozgás szokásos leírásáé.) Hasonló módon megadhatjuk az $\displaystyle n$-edik fokra az $\displaystyle n-1$-edik miatt ható forgatónyomatékot:

$\displaystyle M_{n,n-1}=K_{n-1,n}\frac{\ell^2}{2h}\left(\varphi_{n-1}-\varphi_n\right).$

Mivel a létra összes tömege elhanyagolható a hágcsón függő emberéhez képest, és a kötélszakaszok csak kismértékben térnek el a függőlegestől, a kötelekben ható $\displaystyle K_{x,x+1}$ erő vezető rendben mindenhol $\displaystyle Mg/2$-nek vehető, így az $\displaystyle n$-edik fokra ható forgatónyomaték

$\displaystyle M_{n}=\frac{Mg}{2}\frac{\ell^2}{2h}\left(\varphi_{n+1}+\varphi_{n-1}-2\varphi_n\right).$

Az egyes fokok középpontra vett tehetetlenségi nyomatéka $\displaystyle \frac{1}{12}m\ell^2$, tehát a mozgásegyenletük, $\displaystyle \beta_n$-nel jelölve a torziós mozgás szöggyorsulását,

$\displaystyle \frac{1}{12}m\ell^2\beta_n=\frac{Mg}{2}\frac{\ell^2}{2h}\left(\varphi_{n+1}+\varphi_{n-1}-2\varphi_n\right),$

azaz

$\displaystyle \beta_n=\frac{3Mg}{mh}\left(\varphi_{n+1}+\varphi_{n-1}-2\varphi_n\right).$

Ez egy tipikus, diszkrét láncon értelmezett hullámegyenlet, aminek a megoldásai lefelé vagy felfelé haladó hullámok

$\displaystyle \varphi_n=\phi\sin\left(\omega t\mp\frac{2\pi}{\lambda}nh+\theta\right).$

A $\displaystyle \lambda$ hullámhossz és a hozzá tartozó $\displaystyle \omega$ körfrekvencia közötti összefüggést behelyettesítéssel kapjuk meg. Egy ilyen megoldásban minden fok harmonikus mozgást végez, ennek megfelelően $\displaystyle \beta_n=-\omega^2\varphi_n$, tehát

$$\begin{gather*} -\omega^2\phi\sin\left(\omega t\mp\frac{2\pi}{\lambda}nh+\theta\right)=\\ =\frac{3Mg}{mh}\left(\phi\sin\left(\omega t\mp\frac{2\pi}{\lambda}(n+1)h+\theta\right)+\phi\sin\left(\omega t\mp\frac{2\pi}{\lambda}(n-1)h+\theta\right)-2\phi\sin\left(\omega t\mp \frac{2\pi}{\lambda}nh+\theta\right)\right). \end{gather*}$$

Ez, kis átalakítás után a $\displaystyle \varphi_n$ kifejezésével egyszerűsíthető, és az

$\displaystyle \omega^2=\frac{6Mg}{mh}\left(1-\cos{\frac{2\pi}{\lambda}h}\right),$

illetve

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{12Mg}{mh}}\left\vert\sin{\frac{\pi}{\lambda}h}\right\vert$

relációra vezet. Végül felhasználva, hogy $\displaystyle \omega=\tfrac{2\pi}{T}$, és ha $\displaystyle \lambda\gg h$, akkor

$\displaystyle \sin{\frac{\pi}{\lambda}h\simeq\frac{\pi}{\lambda}h},$

a hosszú hullámhosszú torziós lengések terjedési sebességére

$\displaystyle c=\frac{\lambda}{T}=\sqrt{3\left(\frac{M}{m}\right)gh}$

adódik.

Megjegyzések. 1. Gondolatmenetünk fontos eleme, hogy a szomszédos létrafokok egymáshoz viszonyított elfordulása kicsi. Ez nyilván teljesül, ha a $\displaystyle \phi$ amplitúdó kicsi, de az is elég ha

$\displaystyle \phi\frac{2\pi h}{\lambda}\ll 1,$

ami akár nagy $\displaystyle \phi$-ket is megenged, ha $\displaystyle \lambda$ elég nagy a $\displaystyle h$-hoz viszonyítva.

2. Az $\displaystyle \omega(\lambda)$ összefüggés periodikus volta egy érdekes dologra hívja fel a figyelmünket: mindazok a különböző $\displaystyle \lambda$-k, amelyek ugyanakkora $\displaystyle \omega$-t adnak, ugyanolyan hullámhosszú (legfeljebb ellentétes irányba haladó) hullámokat írnak le. Ez könnyen belátható, figyelembe véve, hogy ha

$\displaystyle \omega(\lambda_1)=\omega(\lambda_2),$

akkor

$\displaystyle \frac{h}{\lambda_1}=\frac{h}{\lambda_2}+j,\qquad\textrm{vagy}\qquad\frac{h}{\lambda_1}=-\frac{h}{\lambda_2}+j,$

ahol $\displaystyle j$ egy egész szám. Ennek alapján minden lehetséges hullám leírható a $\displaystyle \lambda\geq 2h$ hullámhosszakkal. Ez egyértelműen annak köszönhető, hogy a hágcsó mozgását megadó függvény csak diszkrét pontokban van értelmezve.

3. A

$\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}$

mennyiséget hullámszámnak nevezzük. Több dimenzióban vektornak definiálják úgy, hogy az iránya a hullám terjedésének az irányát adja meg. Ezzel analógiában egy dimenzióban is érdemes a haladás irányát megadó előjelet adni neki. Így a hullámegyenletünk általános megoldása

$\displaystyle \varphi_n=\phi\sin\left(\omega t-knh+\theta\right),\qquad\left(-\frac{\pi}{h}<k\leq\frac{\pi}{h}\right)$

alakú hullámokból tevődik össze.

Statisztika:

A P. 5732. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. áprilisi fizika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?