A P. 5734. feladat (2026. május)

P. 5734. Egy pontszerű, $\displaystyle m$ tömegű golyó súrlódásmentesen mozoghat egy hosszú, vízszintes rúdon. A golyóhoz rögzített fonalat egy, a rúd alatt $\displaystyle h$ mélységben lévő apró karikán vezettük át, majd egy ugyancsak $\displaystyle m$ tömegű nehezéket erősítettünk rá. Amikor a ferde fonalszár $\displaystyle \alpha=60^\circ$-os szöget zár be a függőlegessel, akkor a golyót lökésmentesen elengedjük.

a) Hányszor nagyobb a fonálban fellépő kötélerő a karika fölött történő áthaladáskor, mint az elengedés utáni pillanatban?

b) Mekkora a golyó egyensúlyi pontja körüli kis rezgésének a periódusideje?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Az elengedés előtt a fonalat nyilván $\displaystyle mg$ erő feszíti. Az elengedéskor az erő hirtelen valamekkora $\displaystyle K$ értékre változik, miközben a golyó vízszintesen jobbra $\displaystyle a_1$, a nehezék pedig függőlegesen lefelé $\displaystyle a_2$ gyorsulással kezd el mozogni (1. ábra).

1. ábra

A mozgásegyenletek:

$$\begin{gather*} K\sin\alpha=ma_1,\\ mg-K=ma_2, \end{gather*}$$

a fonál nyújthatatlanságának feltétele pedig

$\displaystyle a_2=a_1\sin\alpha.$

Ezekből az egyenletekből kapjuk, hogy

$\displaystyle K=\frac{mg}{1+\sin^2\alpha}=\frac{mg}{1+\frac{3}{4}}=\frac{4}{7}mg.$

A karika fölötti $\displaystyle O$ ponton történő áthaladáskor a golyó $\displaystyle v$ sebességét az energiamegmaradás törvényéből határozhatjuk meg. Mivel a nehezék az indulási helyzetéhez képest

$\displaystyle \frac{h}{\cos\alpha}-h=h$

távolságnyit süllyed és a sebessége a kérdéses pillanatban nulla, fennáll

$\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv^2,\qquad\textrm{vagyis}\qquad v=\sqrt{2gh}.$

Jelöljük teljes hosszában függőleges helyzetű fonalat feszítő erőt $\displaystyle K'$-vel, a golyó gyorsulását $\displaystyle a_1'$-vel, a nehezék gyorsulását pedig $\displaystyle a_2'$-vel. Mivel a golyóra ebben a helyzetben nem hat vízszintes irányú erő, $\displaystyle a_1'$ nyilván nulla. A golyó elmozdulása az $\displaystyle O$ ponton történő áthaladása után egy kicsiny $\displaystyle t$ idővel később jó közelítéssel

$\displaystyle x(t)=vt.$

A nehezék a $\displaystyle t$ időpontban a legmélyebb (a 2. ábrán vízszintes szaggatott vonallal jelölt) helyzetéhez viszonyítva bizonyos $\displaystyle y(t)$ távolsággal magasabban lesz.

2. ábra

A fonál hosszának állandósága miatt fennáll:

$\displaystyle y(t)=\sqrt{x^2+h^2}-h=\frac{\left[x(t)^2+h^2\right]-h^2}{\sqrt{x(t)^2+h^2}+h}\approx\frac{x(t)^2}{2h}=\frac{1}{2}\frac{v^2}{h}t^2.$

Innen leolvashatjuk, hogy a nehezék a legmélyebb helyzetében $\displaystyle a_2'=\tfrac{v^2}{h}=2g$ nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló gyorsulással mozog (3. ábra).

3. ábra

A nehezék mozgásegyenlete a golyó $\displaystyle O$ ponton való áthaladásakor:

$\displaystyle K'-mg=ma_2'=2mg,\qquad\textrm{vagyis}\qquad K'=3mg.$

Ezek szerint a legnagyobb és a legkisebb fonálerő keresett aránya:

$\displaystyle \frac{K'}{K}=\frac{21}{4}=5{,}25.$

b) Vizsgáljuk most a golyó kis amplitúdójú rezgéseit az egyensúlyi helyzet (az $\displaystyle O$ pont) körül. Jelöljük a golyó pillanatnyi kitérését $\displaystyle x^*$-gal, a gyorsulásának nagyságát $\displaystyle a^*$-gal, a fonalat feszítő erőt pedig $\displaystyle K^*$-gal (4. ábra).

4. ábra

Ha $\displaystyle x^*\ll h$, a nehezék elmozdulása $\displaystyle (x^*)^2/(2h)$ ,,másodrendűen kicsi'', tehát a gyorsulása jó közelítéssel nullának vehető. A nehezék mozgásegyenlete:

$\displaystyle mg-K^*=ma_2^*=0,\qquad\textrm{tehát}\qquad K^*\approx mg.$

A golyó mozgásegyenletében a fonálerő vízszintes komponense jelenik meg:

$\displaystyle ma_1^*=-K^*\frac{x^*}{\sqrt{h^2+(x^*)^2}}\approx -\frac{mg}{h}x^*,$

azaz

$\displaystyle a_1^*=-\frac{g}{h}\,x^*.$

(A negatív előjel a gyorsulás és a kitérés ellentétes irányát veszi figyelembe.) Ha a fenti képletet összevetjük a harmonikus rezgőmozgás

$\displaystyle a_1^*=-\omega^2\,x^*$

összefüggésével, leolvashatjuk, hogy $\displaystyle \omega=\sqrt{g/h}$, és így a rezgések periódusideje:

$\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}.$

Ez éppen akkora, mint egy $\displaystyle h$ fonálhosszúságú matematikai inga lengésideje.

Statisztika:

A P. 5734. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?