 |
A P. 5735. feladat (2026. május) |
P. 5735. A Földről nézve legalább mennyi idő telik el aközött, hogy a Mars oppozícióban, majd kvadratúrában van?
A Földről nézve a Mars oppozícióban a Nappal átellenes irányban, kvadratúrában pedig a Naptól \(\displaystyle 90^\circ\) szögtávolságban helyezkedik el. Használjuk azt a közelítést, hogy a Föld 1 CSE, a Mars pedig 1,5 CSE sugarú körpályán, azonos irányban kering az ekliptika síkjában a Nap körül.
Közli: Varga Vázsony, Genf (Svájc)
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Kepler harmadik törvénye szerint \(\displaystyle T^2\sim a^3\). Felhasználva a feladatban megadott pályasugarakat (a körpálya közelítés miatt \(\displaystyle a=r\)) és a Föld \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\textrm{év}\) keringési idejét, a Mars keringési ideje
\(\displaystyle T_\mathrm{M}=\left(\frac{r_\mathrm{M}}{r_\mathrm{F}}\right)^\frac{3}{2}T_\mathrm{F}=(1{,}5)^\frac{3}{2}T_\mathrm{F}\approx 1{,}84\,\textrm{év}.\)
Jelölje a Mars és a Nap Földről látott szögtávolságát \(\displaystyle \varepsilon\), a heliocentrikus Föld–Mars szögtávolságot pedig \(\displaystyle \vartheta\) (1. ábra).
1. ábra
Oppozícióban \(\displaystyle \vartheta_\mathrm{opp}=0\). Kvadratúra esetében, ahol \(\displaystyle \varepsilon=90^\circ\) a 2. ábra alapján:
\(\displaystyle \cos\vartheta_\mathrm{kvad}=\frac{r_\mathrm{F}}{r_\mathrm{M}}.\)
Tehát a két helyzet közti heliocentrikus szögkülönbség:
\(\displaystyle \Delta\vartheta=\left|\vartheta_\mathrm{opp}-\vartheta_\mathrm{kvad}\right|=\arccos\frac{r_\mathrm{F}}{r_\mathrm{M}}\approx 0{,}84\approx 48{,}2^\circ.\)
2. ábra
A Nap inerciarendszerében tekintett szögsebességek \(\displaystyle \omega=2\pi/T\) módon számolhatók. A fenti \(\displaystyle \vartheta\) szög megváltozási ütemének meghatározásához üljünk át a Föld keringésével együtt forgó koordináta-rendszerbe! A Mars itteni, relatív keringési szögsebessége (szinodikus szögsebesség) épp a \(\displaystyle \vartheta\) szög megváltozási üteme. Mivel a két bolygó azonos irányban (prográd módon) kering:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{rel}=\omega_\mathrm{F}-\omega_\mathrm{M}=2\pi\left(\frac{1}{T_\mathrm{F}}-\frac{1}{T_\mathrm{M}}\right)\approx 2{,}86\,\textrm{év}^{-1}.\)
Így az oppozíciótól kvadratúráig tartó legkisebb idő:
\(\displaystyle \Delta t=\frac{\Delta\vartheta}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 0{,}294\,\textrm{év}\approx 107\,\textrm{nap}.\)
Megjegyzések. 1. A 3. ábráról látszik, hogy a következő kvadratúrába az oppozíció után \(\displaystyle \Delta\vartheta_2=2\pi-\Delta\vartheta\) relatív szögelfordulás után kerül a Mars, amiből
\(\displaystyle \Delta t_2=\frac{\Delta\vartheta_2}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 1{,}901\,\textrm{év}\approx 694\,\textrm{nap}.\)
3. ábra
Ezután mindkét esemény
\(\displaystyle T_\mathrm{szin}=\frac{2\pi}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 2{,}196\,\textrm{év}\approx 802\,\mathrm{nap}\)
periódusidővel ismétlődik. (Ez a Mars szinodikus, Földhöz viszonyított keringési ideje.)
2. A feladat közelítései (körpályák, a Mars 1,5 CSE távolsága a Naptól, a két bolygó azonos síkban kering) miatt a valóságban ezek az értékek kicsit eltérnek az itt kiszámítottaktól.
Statisztika:
A P. 5735. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai