 |
A P. 5736. feladat (2026. május) |
P. 5736. A titánfaló kicsi zöld emberkék egyik kutatóűrhajója rátalált egy gömb alakú kisbolygóra, mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
– nincs légköre,
– mindig ugyanazon oldalát fordítja napja felé,
– a bolygón a napállandó a földivel megegyező, \(\displaystyle 1360~\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\),
– felszínének abszorpciós együtthatója \(\displaystyle 0{,}5\).
a) Határozzuk meg a bolygó hőmérsékletét, feltételezve, hogy az (a titán jó hővezetési képessége miatt) mindenhol egyforma.
b) A titánfaló kicsi zöld emberkék a bolygó anyagának külszíni kitermelésébe kezdtek a bolygó felszínének negyedrészén. A ,,művelt'' terület abszolút fekete testnek tekinthető. Hogyan változik a bolygó hőmérséklete, ha a bánya a bolygó árnyékos, illetve ha a napos oldalán található?
(Feltételezhetjük, hogy a napos oldal esetén a merőleges vetület tekintetében is a napos oldal fele a művelt terület.)
Közli: Szentivánszki Soma, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) A napfényből a bolygó keresztmetszetével megegyező nyalábot nyel el az égitest, a kisugárzás viszont a teljes felszínen történik. Az egyensúlyi \(\displaystyle T\) hőmérsékleten az időegységenként elnyelt és kisugárzott energia megegyezik:
\(\displaystyle aR^2\pi I=4eR^2\pi\sigma T^4,\)
ahol \(\displaystyle R\) a bolygó sugara, \(\displaystyle I=1360\,\mathrm{W/m^2}\) a napállandó, \(\displaystyle a=e=0{,}5\) a bolygó abszorbciós és emissziós állandója, \(\displaystyle \sigma=5{,}67\cdot 10^{-8}\,Wm^{-2}K^{-4}\) pedig a Stefan–Boltzmann-állandó. Ebből
\(\displaystyle T=\sqrt[4]{\frac{aI}{4e\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{I}{4\sigma}}\approx 278\,\mathrm{K}\approx 5\,^\circ\mathrm{C}.\)
Megjegyzés. Feltesszük, hogy az abszorbciós állandó minden hullámhosszon ugyanakkora, azaz a test abszolút szürke testnek tekinthető, és ekkor a két együttható meg kell, hogy egyezzen, akkor is, ha az elnyelt látható fény és a kisugárzott infravörös sugárzás hullámhossza eltérő.
b) A teljesítménymérleg ebben az esetben megváltozik, hiszen a ,,művelt'' területeken \(\displaystyle a'=e'=1\).
Az első (árnyékos) esetben az új mérleg:
\(\displaystyle aR^2\pi I=(3e+e')R^2\pi\sigma T_1^4,\)
amiből az ilyenkor kialakuló egyensúlyi hőmérséklet:
\(\displaystyle T_1=\sqrt[4]{\frac{aI}{(3e+e')\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{I}{5\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{4}{5}}T\approx 263\,\mathrm{K}\approx -10\,^\circ\mathrm{C}.\)
A második (napos) esetben pedig:
\(\displaystyle \frac{a+a'}{2}R^2\pi I=(3e+e')R^2\pi\sigma T_2^4,\)
amiből az ilyenkor kialakuló egyensúlyi hőmérséklet:
\(\displaystyle T_2=\sqrt[4]{\frac{\frac{a+a'}{2}I}{(3e+e')\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{3I}{10\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{6}{5}}T\approx 291\,\mathrm{K}\approx 18\,^\circ\mathrm{C}.\)
Statisztika:
A P. 5736. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai