 |
A P. 5737. feladat (2026. május) |
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Vizsgáljuk először egy kezdetben álló, a fémlemeztől \(\displaystyle x\) távolságban lévő ponttöltés esetét. (Az indulás pillanatában \(\displaystyle x=d\).) A töltés elektromos tere megosztást hoz létre a fémlapban, amelynek töltései úgy mozdulnak el, hogy az eredő elektromos térerősség közvetlenül a fém felülete fölött merőleges legyen a fémlemez síkjára. (A fémlemez belsejében és a lemez alatt az eredő elektromos térerősség nulla.)
A fémlemez fölött az elektromos mező éppen olyan, mintha a \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltésen kívül a lemez síkjára tükrözött helyzetben egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, másik pontszerű töltés is jelen lenne. Ezt a fiktív (a valóságban nem létező) töltést tükörtöltésnek nevezik.
Ha a valódi töltés a lemeztől \(\displaystyle x\) távolságra van felfelé, akkor a rá ható elektrosztatikus erő (a töltés és a tükörtöltés közötti Coulomb-erő)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle F_x(x)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{(2x)^2}=-\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{x^2}.\) |
Ez az erő \(\displaystyle x\) tengely irányú; a negatív előjel azt fejezi ki, hogy lefelé, a fémlemez irányába mutat.
1. ábra
Az (1) képletben szereplő vonzóerő hatására a pontszerű, töltött test, ha a fémlemeztől \(\displaystyle d\) távolról kezdősebesség nélkül elengedjük, a fémlemez felé gyorsul, és valamekkora \(\displaystyle T\) idő alatt becsapódik a lemezbe. (A mozgás nem egyenletesen gyorsuló, ezért annak ismert út-idő képletét nem alkalmazhatjuk.) Ha valamilyen más módszerrel meghatározzuk \(\displaystyle T\) értékét, abból már a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökött test \(\displaystyle \ell\) vízszintes elmozdulását is megkapjuk (\(\displaystyle \ell=v_0T)\), hiszen a tükörtöltés nem fejt ki vízszintes irányú erőt, ezért a lemezzel párhuzamos irányú mozgás egyenletes.
A becsapódásig eltelő idő kiszámítására kétféle módszert is megadunk.
I. módszer. Az (1) erőtörvény ugyanolyan alakú, mint a Newton-féle gravitációs erő, mindkettő a távolság négyzetével fordítottan arányos nagyságú vonzóerő. Ezen hasonlóság miatt az elektrosztatikus erőtérben mozgó pontszerű testre is érvényesek Kepler törvényei. Ezekre hivatkozva állíthatjuk, hogy a kis test pályája ellipszis, melynek egyik fókuszpontja az erőtér \(\displaystyle C\) centruma, továbbá azt is tudjuk, hogy a különböző excentricitású, de azonos nagytengelyű ellipszisek mentén a mozgás periódusideje ugyanakkora.
Két ,,elfajult'' ellipszist vizsgálunk. Az egyik egy \(\displaystyle d\) átmérőjű kör, ami nulla excentricitású ellipszisnek is tekinthető. (Az ellipszis excentricitása \(\displaystyle e=\sqrt{1-(b/a)^2}\), ahol \(\displaystyle a\) a fél nagytengely, \(\displaystyle b\) pedig a fél kistengely hossza.) Ezen kör mentén egyenletesen mozgó test mozgásegyenlete:
\(\displaystyle \frac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{(d/2)^2}=m\,\frac{d}{2}\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2,\)
ahonnan kifejezhetjük a körmozgás periódusidejét:
\(\displaystyle T_0=2\pi\sqrt{{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}}.\)
Kepler III. törvénye szerint ugyanekkora a keringési idő egy \(\displaystyle d\) nagytengelyű és nagyon kicsi (határesetben nulla) kistengelyű ellipszispályán történő mozgásnál is. A teljesen elfajult, \(\displaystyle e=1\) excentricitású ,,ellipszis'' \(\displaystyle d\) hosszúságú egyenes szakasz lesz, amely mentén történő mozgás kérdéses \(\displaystyle T\) ideje az indulástól a becsapódásig a teljes \(\displaystyle T_0\) periódusidő fele.
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T=\frac{T_0}{2}=\frac{\pi d}{\vert Q\vert}\sqrt{2\pi\varepsilon_0md}.\) |
2. ábra
II. módszer. Az elektrosztatikus és a gravitációs mező analógiájának felismerése és felhasználása nélkül, ,,nyers erővel'' is meghatározhatjuk a becsapódás \(\displaystyle T\) idejét, ha az energiamegmaradás törvényéből kiszámítjuk a töltött test pillanatnyi sebességét a hely függvényében, majd annak reciprokát integráljuk a megtett út szerint.
Az (1) összefüggéssel megadott erőtörvényhez tartozó potenciális energia:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle U(x)=-\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{x}.\) |
Az elektrosztatikus energia és a mozgási energia összege a mozgás során állandó marad. Az \(\displaystyle x=d\) távolságból kezdősebesség nélkül induló test \(\displaystyle v(x)\) sebességére a lemeztől \(\displaystyle x\) távolságban fennáll, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle U(d)+0=U(x)+\frac{1}{2}mv^2(x).\) |
Innen kiszámítható a kicsiny test sebessége:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle v(x)=-\sqrt{\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{d}\right)}.\) |
Megjegyzés. Figyelemre méltó, hogy a (3) összefüggésben szereplő potenciális energia nem egyezik meg a valódi töltés és a tőle \(\displaystyle 2x\) távol lévő tükörtöltés közötti, naiv módon számolt \(\displaystyle -\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{2x}\) Coulomb-energiával, annak éppen a fele.
A kettes faktor eltérésnek a következő a magyarázata. Két valódi töltés kölcsönhatási energiája (egy előjeltől eltekintve) azzal a \(\displaystyle W\) munkával egyezik meg, amennyit a töltések egymástól nagyon távolságra (,,végtelen messzire'') történő elmozdítása során végzünk. Ha a két töltést a felezőpontjukra szimmetrikusan húzzuk szét, akkor mindegyikük mozgatásakor \(\displaystyle W/2\) munkát végzünk. Ha viszont a nagy méretű fémlemez közeléből távolítunk el nagyon messzire egy valódi töltést, a fiktív tükörtöltés is eltávolodik a lemeztől, anélkül, hogy azon munkát végeznénk. A teljes munkavégzés ilyenkor \(\displaystyle W/2\), és így minden \(\displaystyle x\) értékhez tartozó potenciális energia is csak a fele a valódi töltésekre vonatkozó Coulomb-energiának.
Osszuk fel – gondolatban – a töltött test pályáját (indulástól a becsapódásig) sok kicsi, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú darabra. Az \(\displaystyle i\)-edik darabon (\(\displaystyle i=1,2,\ldots,n\)) a sebességet közelítőleg állandónak, \(\displaystyle v(x_i)\) nagyságúnak tekintjük, akkor a mozgás teljes időtartama
\(\displaystyle T\approx\sum_{i=1}^n\frac{\Delta t_i}{\Delta x}\,\Delta x\approx\sum_{i=1}^n\frac{1}{v(x_i)}\,\Delta x\approx\int _d^0\frac{1}{v(x)}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0m}{Q^2}}\int_0^d\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{d}}}\,\mathrm{d}x.\)
Érdemes a fémlemeztől mért távolságot \(\displaystyle x=\xi d\) alakban felírni, ahol \(\displaystyle 0<\xi\le 1\) egy dimenziótlan változó. Ezzel a kérdéses idő
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle T\approx\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}\int_0^1\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\xi}-1}}\,\mathrm{d}\xi.\) |
(Belátható, hogy a fenti közelítés annál jobb, minél kisebb részekre osztjuk fel a töltött test pályáját.)
A (6) összefüggésben szereplő integrál numerikus közelítésben 1,57 nagyságúnak adódik, de pontosan is kiszámítható az értéke, ami \(\displaystyle \pi/2\). Így a keresett időtartam (2)-vel egyezően
\(\displaystyle T=\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}.\)
Eközben a test vízszintes irányban
\(\displaystyle \ell=v_0T=\pi v_0\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}\)
távolságra mozdul el, az elengedés helyétől ekkora távolságra fog becsapódni a fémlemezbe.
Statisztika:
A P. 5737. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai