 |
A P. 5738. feladat (2026. május) |
P. 5738. Vékony huzalból hajlított \(\displaystyle d\) sugarú körvezető középpontjában egy jóval kisebb, \(\displaystyle r\ll d\) sugarú, \(\displaystyle R\) ellenállású vezető gyűrűt helyezünk el úgy, hogy tengelyeik egybe esnek. A körvezetőben \(\displaystyle I\) nagyságú stacionárius áram folyik. Mekkora töltés halad át a gyűrű egy adott keresztmetszetén, miközben azt a körvezetőtől nagyon messzire mozgatjuk el? (Az önindukciós effektusoktól tekintsünk el.)
Közli: Németh Róbert, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A körvezető árama olyan mágneses teret hoz létre, amely a tengely mentén a középponttól távolodva folyamatosan csökkenve nullához tart, ezért a kis hurokban az elmozdítás közben egyre kiesebb lesz a fluxus. Ez a csökkenő fluxus a gyűrűben elektromotoros erőt indukál, amely pedig áramot hoz létre. A feladat a gyűrű egy adott keresztmetszetén ennek hatására áthaladó töltésmennyiség meghatározása.
Ha a gyűrű fluxusa a mozgatás során egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta\Phi\)-vel változik, akkor a gyűrűben
\(\displaystyle U_\mathrm{i}=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)
elektromotoros erő indukálódik. Ennek hatására a gyűrűben
\(\displaystyle I=\frac{U_\mathrm{i}}{R}\)
nagyságú áram fog folyni, amely a kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt
\(\displaystyle \Delta Q=I\Delta t=-\frac{1}{R}\Delta\Phi\)
töltés áthaladását jelenti a gyűrű egy adott keresztmetszetén. Azt látjuk tehát, hogy az áthaladó töltésmennyiség arányos a fluxus megváltozásával. Így a teljes töltésmennyiség a fluxus teljes megváltozásával lesz arányos:
\(\displaystyle Q=-\frac{1}{R}(\Phi_\infty-\Phi_0).\)
A körvezető középpontjában
\(\displaystyle B=\frac{\mu_0I}{2d}\)
a mágneses indukció, amely az \(\displaystyle r\ll d\) sugarú kicsiny gyűrűben
\(\displaystyle \Phi_0=Br^2\pi=\frac{\mu_0Ir^2\pi}{2d}\)
fluxust hoz létre. A körvezetőtől nagy távolságra a mágneses tér elhanyagolható, így \(\displaystyle \Phi_\infty=0\). Ezek alapján a keresett töltésmennyiség:
\(\displaystyle Q=\frac{\mu_0Ir^2\pi}{2dR}.\)
Megjegyzések. 1. Ugyanerre a megoldásra jutunk, ha az indukált elektromotoros erőt deriválással, majd a töltést integrálszámítással határozzuk meg. Az indukált elektromotoros erő:
\(\displaystyle U_\mathrm{i}(t)=-\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t}=-\dot\Phi(t),\)
ahol \(\displaystyle \dot\Phi(t)\) a fluxus idő szerinti deriváltja. Az áramot a megoldáshoz hasonlóan az Ohm-törvénnyel kaphatjuk meg:
\(\displaystyle I(t)=\frac{U_\mathrm{i}(t)}{R},\)
majd a töltést az áram idő szerinti integráljaként fejezhetjük ki:
\(\displaystyle Q=\int\limits_{t_1}^{t_2}I(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{R}\int\limits_{t_1}^{t_2}\dot\Phi(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{R}\left((\Phi(t_2)-\Phi(t_1)\right).\)
Az utolsó lépésben a Newton–Leibniz-tételt alkalmaztuk.
2. Ha a gyűrűt a közös tengely mentén elforgatás nélkül távolítjuk, akkor a gyűrű fluxusa folyamatosan csökken és az áram iránya mindvégig ugyanolyan lesz. Az egy adott keresztmetszeten áthaladó előjelesen összegzett töltésmennyiség azonban ettől függetlenül a kiszámított értékkel egyezik meg, hiszen ez csak a gyűrűn áthaladó fluxus kezdeti és végállapotától függ.
Statisztika:
A P. 5738. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai