A P. 5740. feladat (2026. május)

P. 5740. Szobahőmérsékletű és légköri nyomású levegőben a nitrogénmolekulák átlagos szabad úthossza kb. 65 nm. Becsüljük meg, hogy kiindulási pozíciójából átlagosan milyen messzire jut egy nitrogénmolekula 1 óra alatt!

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle T\) hőmérsékleten az egy szabadsági fokra jutó energia \(\displaystyle \tfrac{1}{2}kT\), amiből egy nitrogén molekula átlagos sebessége

\(\displaystyle \overline{v}=\sqrt{\frac{3kT}{m}},\)

ahol \(\displaystyle m=4{,}67\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\) a nitrogén molekula tömege, és \(\displaystyle k=1{,}38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) a Boltzmann-állandó. \(\displaystyle T=24\,^\circ\mathrm{C}=297\,\mathrm{K}\)-t véve \(\displaystyle \overline{v}=513\,\mathrm{m/s}\) adódik. Ezzel a sebességgel mozogva egy molekula a \(\displaystyle \Delta s=65\,\mathrm{nm}\) szabad úthossznyi távolságot \(\displaystyle \tau=\Delta s/\overline{v}=1{,}27\cdot 10^{-10}\,\mathrm{s}\) alatt teszi meg, tehát átlagosan ennyi idő telik el az ütközések között. Ennek megfelelően egy molekula \(\displaystyle N=2{,}84\cdot 10^{13}\)-szor ütközik egy óra alatt.

A kérdés tehát az, milyen messze lesz egy molekula a kiinduló pontjától \(\displaystyle N\) ütközés után. A becslésünk során feltételezzük, hogy kiszemelt molekula a soron következő ütközések között mindig \(\displaystyle \Delta s\) utat tesz meg, és hogy az ütközések során nincs kitüntetett irány, az ütközés előtti és az ütközés utáni sebesség egymáshoz viszonyított iránya ugyanazzal a valószínűséggel vehet fel bármilyen értéket. Ebből következik, hogy két egymást követő ütközés közötti \(\displaystyle \boldsymbol{\Delta s}\) elmozdulás \(\displaystyle <\!\boldsymbol{\Delta s}\!>\) várható értéke, így a teljes elmozdulás várható értéke is nulla, ezért érdemes a kiindulástól mért távolság négyzetének a várható értékével foglalkozni. (A szokásos módon a vektor mennyiségeket félkövér, ezek nagyságát normál betűkkel, egy mennyiség várható értékét, tehát a lehetséges értékeknek a megvalósulás valószínűségével súlyozott átlagát pedig a mennyiség \(\displaystyle <\ldots >\) csúcsos zárójelbe tételével jelöljük.) Legyen \(\displaystyle \boldsymbol{r}_n\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}_{n+1}\) a molekula pozíciója az \(\displaystyle n\)-edik és \(\displaystyle n+1\)-edik ütközés mentes szakasz megtétele után! Nyilván

\(\displaystyle r^2_{n+1}=r^2_n+2\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}+(\Delta s)^2,\)

következésképp az egyes tagok várható értékére is igaz, hogy

\(\displaystyle <\!r^2_{n+1}\!>=<\!r^2_n\!>+2<\!\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}\!>+(\Delta s)^2.\)

Könnyen beláthatjuk, hogy a jobb oldal második tagja nulla. Mivel \(\displaystyle \boldsymbol{\Delta s}\) iránya \(\displaystyle \boldsymbol{r}_n\)-től függetlenül ugyanakkora valószínűséggel bármi lehet, a szorzat minden lehetséges értéke és annak a mínusz egyszerese azonos súllyal szerepel benne, tehát

\(\displaystyle <\!\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}\!>=0,\)

így

\(\displaystyle <\!r^2_{n+1}\!>= <\!r^2_n\!>+(\Delta s)^2.\)

Ez egy rekurziós formula, aminek a megoldása

\(\displaystyle <\!r^2_n\!>=n(\Delta s)^2.\)

Ennek alapján \(\displaystyle r_N\) becsült értéke

\(\displaystyle r_N\simeq\sqrt{<\!r^2_N\!>}=\sqrt{N}\Delta s=0{,}35\,\mathrm{m}.\)

Statisztika:

A P. 5740. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. májusi fizika feladatai