 |
A P. 5742. feladat (2026. szeptember) |
P. 5742. Egy hóbortos ötlet szerint az Antarktisz első kalandparkjában építenének egy hatalmas, függőleges szimmetriatengelyű, lefelé nyíló, forgásparaboloid alakú jégtömböt. A fókuszpontban lévő kicsiny ,,szabadulószobából'' sok keskeny, egyenes alagút vezet a szabadba, amelyek bármelyikén súrlódásmentesen csúszhatnának le a kezdősebesség nélkül induló látogatók.
Milyen meredekségű alagutat érdemes választania annak, aki a lehető legrövidebb idő alatt szeretne kiszabadulni a jégtömbből?
Faragó Andor (1877–1944) feladata nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a forgásfelület parabola alakú vezérgörbéjének fókusztávolságát \(\displaystyle f\)-fel, az alagút hosszát \(\displaystyle s\)-sel, meredekségét pedig \(\displaystyle \alpha\)-val (lásd az ábrát).
A kezdősebesség nélkül induló lecsúszó ember végsebessége \(\displaystyle v_\textrm{max}=\sqrt{2gh}\), ahol \(\displaystyle h=s\sin\alpha\) az alagút végpontjainak szintkülönbsége. A sebesség időben egyenletesen változik, így az átlagsebesség
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_\textrm{átlag}=\frac{v_\textrm{max}}{2}=\sqrt{{\frac{gh}{2}}}.\) |
A mozgás időtartama:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t=\frac{s}{v_\textrm{átlag}}.\) |
Tudjuk még, hogy a parabola pontjai ugyanolyan messze vannak az \(\displaystyle F\) fókuszponttól, mint amennyire az \(\displaystyle e\) vezéregyenestől. Ennek megfelelően
| \(\displaystyle (3).\) | \(\displaystyle s=h+2f\) |
Az (1)-(3) egyenletekből kapjuk, hogy
\(\displaystyle t^2=\frac{2}{g}\,\frac{(h+2f)^2}{h}=\frac{2}{g}\left(\frac{h^2+4hf+4f^2}{h}\right)=\textrm{állandó}\left(h+\frac{4f^2}{h}\right)+\textrm{állandó}.\)
A legrövidebb idejű lecsúszásnál \(\displaystyle t^2(h)\) is minimális értékű. Mivel a számtani és a mértani középértékekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint
\(\displaystyle h+\frac{4f^2}{h}\ge 2\sqrt{h\cdot\frac{4f^2}{h}}=4f,\)
a lecsúszás ideje
\(\displaystyle t\ge 4\sqrt{\frac{f}{g}}.\)
Az egyenlőség akkor áll fenn, ha \(\displaystyle h=\tfrac{4f^2}{h}\), azaz \(\displaystyle h=2f\). Innen (3) szerint \(\displaystyle s=4f\) következik, vagyis a leggyorsabb lecsúszáshoz tartozó lejtő hajlásszöge
\(\displaystyle \alpha=\arcsin{\frac{h}{s}}=\arcsin\frac{1}{2}=30^\circ.\)
Megjegyzés. Érdekes, hogy az optimális lejtő meredeksége nem függ sem a parabola fókusztávolságától, sem a nehézségi gyorsulástól, és még a lecsúszó test tömegétől is független. Ez a tulajdonság részletes számítás nélkül, a dimenzióanalízis alkalmazásával is megkapható. A dimenziótlan \(\displaystyle \alpha\) szög nem függhet a test \(\displaystyle m\) tömegétől, mert a tömeg kg mértékegysége csak abban fordul elő. A \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás sem jelenhet meg a végképletben, mert az idő mértékegysége csak abban szerepel. Végül \(\displaystyle \alpha\) nem függhet \(\displaystyle f\)-től sem, mert annak hosszúság (méter) dimenzióját nincs, ami kiejtse a végeredmény képletében.
Statisztika:
20 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bense Tamás, Brassai Hunor Tihamér, Gröller Janka, Hammer Kristóf, Hicsó Máté Kristóf, Horváth Péter, Juhász Béla, Kossár Benedek Balázs, Kyle Tang, Lakatos Levente, Máthé Csongor Örs, Mészáros Máté , Mezei Marcell, Patócs 420 Péter, Sógor-Jász Soma, Szolnoki Zoltán, Vata Luca, Zsilák Márk Péter (18 versenyző). 3 pontot kapott: Horváth 001 Botond , Szilágyi Bence (2 versenyző).
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai