A P. 5743. feladat (2026. szeptember)

P. 5743. Az ábrán látható, azonos hosszúságú ingák végén lévő, pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle m_1\) tömegű golyók a fonalak függőleges helyzetében pont érintkeznek. Az \(\displaystyle M\) tömegű golyó fonalát a függőlegeshez képest \(\displaystyle 0<\alpha\leq 90^\circ\) szöggel kitérítjük, majd, lökésmentesen elengedjük. A golyók tökéletesen rugalmas ütközése után az \(\displaystyle M\) tömegű inga fonalának a függőlegeshez képesti maximális szögkitérése \(\displaystyle \Phi_1\). Ezt követően az \(\displaystyle m_1\) tömegű golyót egy másik, \(\displaystyle m_2\) tömegű golyóra cseréljük, és az ütköztetést az első esettel azonos módon elvégezzük. Ekkor az \(\displaystyle M\) tömegű inga fonalának a függőlegeshez képesti maximális szögkitérése \(\displaystyle \Phi_2\).

Milyen kapcsolat van \(\displaystyle \Phi_1\) és \(\displaystyle \Phi_2\) között, ha \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle m_1\) és az \(\displaystyle m_2\) mértani közepe?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első golyó ütközés előtti sebességét jelöljük \(\displaystyle v\)-vel. Az álló golyón történő rugalmas ütközés után a rugalmas ütközések Függvénytáblázatban is megtalálható képletei szerint az első golyó

\(\displaystyle v'_1=\frac{M-m_1}{M+m_1}\,v\)

sebességgel halad tovább (\(\displaystyle v'_1>0\)), vagy pattan vissza (\(\displaystyle v'_1<0\)) aszerint, hogy \(\displaystyle M\) nagyobb, vagy kisebb \(\displaystyle m_1\)-nél. Hasonlóképpen, amikor a második golyót \(\displaystyle m_2\) tömegűre cseréljük, az első golyó ütközés utáni sebessége

\(\displaystyle v'_2=\frac{M-m_2}{M+m_2}\,v\)

lesz. A két ütközés utáni sebesség aránya, közben behelyettesítve a mértani közép feltétel miatt \(\displaystyle M=\sqrt{m_1m_2}\)-t:

\(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac{M-m_1}{M+m_1}\cdot\frac{M+m_2}{M-m_2}=\frac{\left(\sqrt{m_1m_2}-m_1\right)\left(\sqrt{m_1m_2}+m_2\right)}{\left(\sqrt{m_1m_2}+m_1\right)\left(\sqrt{m_1m_2}-m_2\right)}= \frac{\sqrt{m_1}\left(\sqrt{m_2}-\sqrt{m_1}\right)\sqrt{m_2}\left(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}\right)}{\sqrt{m_1}\left(\sqrt{m_2}+\sqrt{m_1}\right)\sqrt{m_2}\left(\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}\right)}=-1.\)

Ha a sebességek az alsó pontban egyforma nagyok, de ellenkező irányúak, akkor a maximális kitérésekre is ugyanez teljesül:

\(\displaystyle \Phi_1=-\Phi_2.\)

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Fekete Simon, Hammer Kristóf, Hicsó Máté Kristóf, Horváth Péter, József Áron, Kávrán-Kőnig Balázs, Máthé Csongor Örs, Mezei Marcell, Rajtik Sándor Barnabás, Szighardt Anna, Szilágyi Tamás, Zhao Aaron , Zsilák Márk Péter	(13 versenyző).
3 pontot kapott:	Araczki Ádám, Bense Tamás, Birton Richárd-Zoltán , Brassai Hunor Tihamér, Sofró Dániel	(5 versenyző).
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai