A P. 5744. feladat (2026. szeptember)

P. 5744. Van két egyenes fémpálcánk, a keresztmetszetük megegyezik, de az egyik hossza kétszerese a másikénak. A pálcákat az egyik végüknél fogva összeforrasztjuk, így egy hosszabb, egyenes pálcát kapunk, amelynek tömegközéppontja éppen az aranymetszés arányában osztja a teljes hosszat. Mekkora a két fém sűrűségének aránya?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle \varrho_1\) és \(\displaystyle \varrho_2\) az \(\displaystyle \ell\) és \(\displaystyle 2\ell\) hosszú darab sűrűsége, \(\displaystyle A\) a pálca keresztmetszete, az \(\displaystyle x\) távolságot pedig mérjük a rövidebb darab vége felől. Először azt nézzük meg, hogy milyen sűrűségarány mellett lesz a tömegközéppont éppen \(\displaystyle x\)-nél. Ennek feltétele, hogy

\(\displaystyle (\ell A\varrho_1)\frac{\ell}{2}+(2\ell A\varrho_2){2\ell}=(\ell A\varrho_1+2\ell A\varrho_2)x,\)

ami egyszerűsítve és átrendezve

\(\displaystyle \frac{\varrho_1}{\varrho_2}=\frac{8\ell-4x}{2x-\ell}.\)

\(\displaystyle x\) az aranymetszés arányának megfelelően osztja ketté a \(\displaystyle 3\ell\) hosszú pálcát, ha a teljes hossz aránya a hosszabbhoz viszonyítva ugyanakkora, mint a hosszabb és rövidebb darabok aránya. Ez kétféleképpen lehetséges. Egyik lehetőség, hogy az \(\displaystyle x\) a hosszabb szakasz, ekkor

\(\displaystyle 3\ell:x=x:(3\ell-x).\)

Ez az

\(\displaystyle x^2+3\ell x-(3\ell)^2=0\)

egyenlettel egyenértékű, aminek a számunkra értelmezhető megoldása

\(\displaystyle x_1=\frac{3\ell}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\approx 1{,}85\ell.\)

(Az egyenlet másik, történetesen negatív megoldása matematikailag ugyan értelmezhető, amennyiben az egy \(\displaystyle 3\ell+|x|\) hosszúságú szakasz aranymetszés szerinti felosztásához kapcsolható, de a feladat szempontjából értelmetlen, hisz a tömegközéppont nem eshet a pálcán kívülre.) A fenti képletünk alapján a tömegközéppont akkor lesz \(\displaystyle x=x_1\) távolságra a megfelelő végtől, ha

\(\displaystyle \frac{\varrho_1}{\varrho_2}=\frac{14-6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-4}\approx 0{,}215.\)

A másik lehetőség, ha az aranymetszésben \(\displaystyle x\) a rövidebb szakasz, ennek hossza

\(\displaystyle x_2=3\ell-x_1=\frac{3\ell}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\approx 1{,}145\ell.\)

Ez a

\(\displaystyle \frac{\varrho_1}{\varrho_2}=\frac{6\sqrt{5}-10}{8-3\sqrt{5}}\approx 2{,}644.\)

sűrűségarány mellett lesz a tömegközéppont helye.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Dávid, Bense Tamás, Birton Richárd-Zoltán , Brassai Hunor Tihamér, Fekete Simon, Hammer Kristóf, Szighardt Anna, Szilágyi Tamás, Takács Vince Ata, Wang Tianyi , Zhao Aaron , Zsilák Márk Péter	(12 versenyző).
3 pontot kapott:	Gröller Janka, Hicsó Máté Kristóf, Horváth Péter, József Áron, Juhász Béla, Máthé Csongor Örs, Pekla Martin, Sofró Dániel, Szolnoki Zoltán	(9 versenyző).
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai