A P. 5745. feladat (2026. szeptember)

P. 5745. Becsüljük meg, nagyságrendileg mekkora a Föld pályaperdületének és saját perdületének aránya!

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a Föld tömegét \(\displaystyle m\), egyenlítői sugarát \(\displaystyle r\), (közepes) pályasugarát \(\displaystyle R\). \(\displaystyle r\approx 6380\,\mathrm{km}\), \(\displaystyle R\approx 1\,\mathrm{CsE}\approx 150\,\textrm{millió km}\).

A Föld pályaperdülete:

\(\displaystyle N_\mathrm{p}=mv_\mathrm{p}R=m\omega_\mathrm{p}R^2=mR^2\frac{2\pi}{T_\mathrm{p}},\)

ahol \(\displaystyle v_\mathrm{p}\) a pályamenti sebessége (körpálya közelítésben – a Föld pálya excentricitása nagyon kicsi), \(\displaystyle \omega_\mathrm{p}\) a keringés (közepes) szögsebessége és \(\displaystyle T_\mathrm{p}=1\,\textrm{év}=365{,}24\,\textrm{nap}\) a keringés periódusideje.

A Föld saját perdülete (a Földet homogén anyageloszlásúnak közelítve):

\(\displaystyle N_\mathrm{s}=\Theta\omega_\mathrm{s}=\frac{2}{5}mr^2\frac{2\pi}{T_\mathrm{s}},\)

ahol \(\displaystyle T_\mathrm{s}=23^{\mathrm{h}}\,56'\,4''\approx 1\,\textrm{nap}\) a forgás periódusideje.

A két perdület hányadosa:

\(\displaystyle \frac{N_\mathrm{p}}{N_\mathrm{s}}=\frac{5}{2}\left(\frac{R}{r}\right)^2\frac{T_\mathrm{s}}{T_\mathrm{p}}\approx 3{,}8\cdot 10^6.\)

Megjegyzések. 1. A Föld inhomogenitása miatt (a mag sűrűsége sokkal nagyobb, mint a kéregé) a Föld tehetetlenségi nyomatéka a valóságban kisebb, mint a homogén anyageloszlású modellből kapott érték. A PREM-modell
(https://en.wikipedia.org/wiki/Preliminary_reference_Earth_model)
alapján \(\displaystyle \Theta\approx 0{,}3308 mr^2\), tehát a \(\displaystyle \tfrac{2}{5}=0{,}4\) együttható helyett \(\displaystyle 0{,}3308\approx\tfrac{1}{3}\) áll. Ennek értelmében a két perdület hányadosa kb. 20%-kal nagyobb:

\(\displaystyle \frac{N_\mathrm{p}}{N_\mathrm{s}}\approx 3\left(\frac{R}{r}\right)^2\frac{T_\mathrm{s}}{T_\mathrm{p}}\approx 4{,}6\cdot 10^6.\)

2. Galaxisunkban, a Tejútban, a csillagok a Tejút középpontja körül keringenek. A Föld a Naprendszerrel együtt 240 millió év (1 galaktikus év) alatt tesz meg egy teljes kört a 27 000 fényévre levő középpont körül
(https://hu.wikipedia.org/wiki/Tejútrendszer):

\(\displaystyle T_\mathrm{g}=2,4\cdot 10^8\,\textrm{év},\qquad R_\mathrm{g}=27\,000\,\textrm{fényév}=2{,}5\cdot 10^{17}\,\mathrm{km}.\)

Ebből a keringésből szintén származik pályaperdület, amit a Nap körüli pályáéhoz hasonlóan számíthatunk ki:

\(\displaystyle N_\mathrm{g}=mR_\mathrm{g}^2\frac{2\pi}{T_\mathrm{g}}.\)

Ez a következőképp aránylik a Nap körüli pályaperdülethez:

\(\displaystyle \frac{N_\mathrm{g}}{N_\mathrm{p}}=\left(\frac{R_\mathrm{g}}{R}\right)^2\frac{T_\mathrm{p}}{T_\mathrm{g}}\approx 1{,}2\cdot 10^{10}.\)

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Dávid, Balassa Ádám, Bense Tamás, Fekete Simon, Halmosi Dávid, Hicsó Máté Kristóf, Hornyák Zalán Zétény, Horváth Péter, Hruby Olivér, Juhász Béla, Kossár Benedek Balázs, Máthé Csongor Örs, Medgyesi András, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Szighardt Anna, Szolnoki Zoltán, Török Tibor, Vata Luca, Zsilák Márk Péter	(20 versenyző).
3 pontot kapott:	Csuvár Barnabás, Furkó Levente, József Áron, Kelepecz Kornél Zoltán, Zhao Aaron	(5 versenyző).
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai