 |
A P. 5746. feladat (2026. szeptember) |
P. 5746. Egy kis űrhajó kering egy csillag körül, \(\displaystyle e\) excentricitású pályán, \(\displaystyle v(t)\) sebességgel. Hányszor nagyobb energiára tesz szert az űrhajó, ha a pericentrumban hajt végre egy kis \(\displaystyle \Delta v\ll v(t)\) érintőirányú sebességnövelést, mintha azt az apocentrumban tenné?
Közli: Vári Gergely Péter, Groningen, Hollandia
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A kis űrhajó teljes energiája
\(\displaystyle E_\mathrm{tot}=E_\mathrm{kin}+E_\mathrm{pot}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{\gamma Mm}{r},\)
amely – a kis energiaváltoztatást kivéve – a pálya mentén állandó. Mivel a sebességnöveléskor csak a mozgási energia változik, a teljes energia megváltozása \(\displaystyle \Delta v\) sebességváltoztatás mellett:
\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^2-\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv^2+mv\Delta v+\frac{1}{2}m\Delta v^2-\frac{1}{2}mv^2=mv\Delta v+\frac{1}{2}m\Delta v^2\approx mv\Delta v,\)
mivel \(\displaystyle \Delta v\ll v\).
Így az energiaváltozások aránya a peri- és apocentrumban
\(\displaystyle \frac{\Delta E_\mathrm{p}}{\Delta E_\mathrm{a}}=\frac{mv_\mathrm{p}\Delta v}{mv_\mathrm{a}\Delta v}=\frac{v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{a}}.\)
A perdületmegmaradásból viszont következik, hogy
\(\displaystyle mv_\mathrm{p}(a-c)=mv_\mathrm{a}(a+c),\)
azaz
\(\displaystyle \frac{v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{a}}=\frac{a+c}{a-c}=\frac{1+\frac{c}{a}}{1-\frac{c}{a}}=\frac{1+e}{1-e}.\)
Tehát az energiaváltozások aránya
\(\displaystyle \frac{\Delta E_\mathrm{p}}{\Delta E_\mathrm{a}}=\frac{1+e}{1-e}.\)
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ábrahám Réka Lora, Bense Tamás, Fekete Simon, Hicsó Máté Kristóf, Hornyák Zalán Zétény, Horváth 001 Botond , Horváth Péter, Hruby Olivér, Juhász Béla, Kávrán-Kőnig Balázs, Kossár Benedek Balázs, Kyle Tang, Máthé Csongor Örs, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Szighardt Anna, Török Tibor, Vata Luca, Yao Chenhao (20 versenyző). 4 pontot kapott: Balassa Ádám, Mezei Marcell (2 versenyző). 3 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai