 |
A P. 5747. feladat (2026. szeptember) |
P. 5747. Egy \(\displaystyle D\) rugóállandójú, hosszú gumiszálra \(\displaystyle m\) tömegű testet akasztunk, aminek következtében a gumiszál megnyúlása \(\displaystyle \Delta\ell_0\). A testet az egyensúlyi helyzetéből függőlegesen kitérítjük úgy, hogy a gumiszál teljes megnyúlása előbb \(\displaystyle 2\Delta\ell_0\), majd \(\displaystyle 3\Delta\ell_0\) legyen.
Számítsuk ki a két mozgás periódusidejét, illetve vázoljuk a mozgásokra jellemző sebesség-idő grafikonokat!
Közli: Szentivánszki Soma, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük a gumiszálat ideális (a Hooke-törvényt követő, elhanyagolható tömegű, tökéletesen hajlékony) rugónak, amely \(\displaystyle \Delta \ell_0\) megnyúlás esetén \(\displaystyle F=D\cdot \Delta\ell\) húzóerőt fejt ki, de feszítetlen állapotban (amikor a végpontjainak távolsága kisebb, mint a terheletlen helyzethez tartozó \(\displaystyle \ell_0\) hossz) nem fejt ki erőt és nem is akadályozza a rá akasztott test mozgását.
Megjegyzés. A gumi a valóságban távolról sem teljesíti a fenti feltételeket. Az \(\displaystyle F\) húzóerő nem arányos a megnyúlással, tehát a szál nem jellemezhető egyetlen, állandó \(\displaystyle D\) rugóállandóval. A szálban ébredő erő függ a korábbi megnyújtás mértékétől (tehát a gumi ,,előéletétől'') is. Melegítés hatására a feszítőerő a hosszúság változása nélkül is növekszik, illetve a hirtelen megnyújtott gumiszál hőelvonás nélkül is lehűl. A gumiszál tehát meglehetősen bonyolult mechanikai-termodinamikai viselkedésű anyag. Mindezekkel a jelenségekkel a jelen feladat megoldása során nem foglalkozunk.
Az \(\displaystyle m \) tömegű test ráakasztása után a gumiszál megnyúlása az egyensúlyi helyzetben kifejezhető a rugóállandóval és a test súlyával: \(\displaystyle D\,\Delta\ell_0=mg\), vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \Delta\ell_0=\frac{mg}{D}.\) |
A test egy függőleges egyenes mentén mozog, a mozgás tehát egyetlen \(\displaystyle x(t)\) függvénnyel leírható. Az \(\displaystyle x\) tengelyt függőlegesen felfelé irányítjuk, és a test egyensúlyi helyzetét választjuk origónak (1. ábra). A test pillanatnyi sebességét jelölje \(\displaystyle v(t)\), a gyorsulását pedig \(\displaystyle a(t)\) (mindkettőt függőlegesen felfelé tekintjük pozitívnak).
1. ábra
A test \(\displaystyle x\)-szel jelölt helyzetében a gumiszál megnyúlása \(\displaystyle \Delta\ell_0-x\). Amennyiben \(\displaystyle x<\Delta\ell_0\) (vagyis a szál ténylegesen megnyúlt), a szálat feszítő erő
\(\displaystyle F(x)=D\left(\Delta\ell_0-x\right),\)
ha viszont \(\displaystyle x>\Delta\ell_0\), akkor \(\displaystyle F=0\) (hiszen a gumiszál nem fejthet ki tolóerőt).
Newton mozgástörvénye szerint
\(\displaystyle F-mg=ma,\)
vagyis megnyújtott gumiszál esetén
\(\displaystyle D\Delta\ell_0-Dx-mg=ma.\)
Mivel (1) szerint \(\displaystyle D\Delta\ell_0=mg\), a mozgásegyenlet
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a(t)=-\frac{D}{m}x(t). \) |
Ez a harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelynek megoldása (az \(\displaystyle \omega=\sqrt{D/m}\) jelölés használatával) nulla kezdősebesség esetén \(\displaystyle \omega\) körfrekvenciájú koszinuszfüggvénnyel adható meg:
\(\displaystyle x(t)=x(0)\cos(\omega t).\)
Az indítás pillanatában a test helyzete a feladat szövegében megadott kétféle teljes megnyúlásnál \(\displaystyle x(0)=-\Delta\ell_0,\) illetve \(\displaystyle x(0)=-2\Delta\ell_0\). Érdemes a két esetet egységesen tárgyalni, illetve a feladatot általánosítani. Legyen
\(\displaystyle x(0)=-(N-1)\Delta\ell_0,\)
ahol \(\displaystyle N>1\) (nem feltétlenül egész szám) a gumiszál kezdeti, \(\displaystyle \Delta\ell_0\) egységekben mért megnyúlása; jelen esetben \(\displaystyle N=2\) vagy \(\displaystyle N=3\).
Mindaddig, amíg a gumiszál húzóerőt fejt ki (vagyis ameddig \(\displaystyle x\le \Delta\ell_0\)), a mozgást leíró egyenletek:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x(t)=-(N-1)\Delta\ell_0\cos(\omega t),\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v(t)=(N-1)\Delta\ell_0\,\omega\sin(\omega t)\) |
és
\(\displaystyle a(t)=(N-1)\Delta\ell_0\,\omega^2\cos(\omega t),\)
amit így is felírhatunk:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle a(t)=(N-1)g\cos(\omega t).\) |
A gumiszál az indulást követően valamekkora \(\displaystyle t_0\) idő elteltével nyújtatlan állapotba kerül, ezt követően nem fejt ki erőt a testre.
\(\displaystyle x(t_0)=-(N-1)\Delta\ell_0\cos(\omega t_0)=\Delta\ell_0,\)
ahonnan
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \cos(\omega t_0)=-\frac{1}{N-1},\) |
tehát
\(\displaystyle \omega t_0=\arccos\left(-\frac{1}{N-1}\right).\)
Vizsgáljuk meg ezek után a különböző \(\displaystyle N\)-ekhez tartozó eseteket. Ha \(\displaystyle N<2\), akkor \(\displaystyle -\frac{1}{N-1}<-1\), a (6) egyenletnek tehát nincs megoldása. Ez annyit jelent, hogy a gumiszál egyáltalán nem lazul meg, így a mozgás mindvégig \(\displaystyle \omega\) körfrekvenciájú, vagyis \(\displaystyle T=2\pi/\omega\) periódusidejű harmonikus rezgőmozgás lesz.
\(\displaystyle \star\)
Az \(\displaystyle N=2\) határesetben lesz egy olyan pillanat, amikor a gumiszál feszítetlen állapotba kerül, amikor \(\displaystyle \omega t_0=\pi\), vagyis \(\displaystyle t_0=T/2\). Ez a harmonikus rezgés fél periódusának felel meg. Ebben a pillanatban a test sebessége nulla. A továbbiakban a gumiszál ismét feszes lesz, tehát a test mozgása továbbra is a koszinuszfüggvénnyel írható le, így a teljes periódusidő
\(\displaystyle T^{(N=2)}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{\Delta\ell_0}g}.\)
A test mozgásának sebességét az idő függvényében (4) szerint így adhatjuk meg:
\(\displaystyle v(t)=\Delta\ell_0\, \omega\sin(\omega t),\)
ami így is felírható:
\(\displaystyle v(t)=\sqrt{g\Delta\ell_0}\sin\left(\sqrt{\frac{g}{\Delta\ell_0}} t\right).\)
\(\displaystyle \star\)
Térjünk most rá az érdekesebb \(\displaystyle N=3\) esetre! A gumiszál meglazulásának kezdetekor a (6) feltétel szerint
\(\displaystyle \cos\left(\omega t_0\right)=-\frac12,\qquad\textrm{vagyis}\qquad\omega t_0=\frac{2\pi}{3},\)
tehát \(\displaystyle t_0=T/3\).
Ebben a pillanatban a (függőlegesen felfelé mozgó) test sebessége (4) szerint
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle v_0=v\left(t_0\right)=2\Delta\ell_0\omega\,\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}\Delta\ell_0\omega=\sqrt{3g\Delta\ell_0}.\) |
Ezt – a továbbiakban fontos – eredmény egyszerűbben, az energiamegmaradás tételének alkalmazásával is megkapható. A mozgás kezdetekor a test sebessége nulla, helyzeti energiája \(\displaystyle -2mg \Delta\ell_0\), a gumiszál rugalmas energiája pedig \(\displaystyle \tfrac{1}{2}D\left(3\Delta\ell_0\right)^2\). A gumi meglazulásának pillanatában a rugalmas energia nulla, a helyzeti energia \(\displaystyle mg\Delta\ell_0\), a mozgási energia pedig \(\displaystyle \tfrac12mv_0^2\). A mechanikai energia megmaradási tétele szerint
\(\displaystyle -2mg\Delta\ell_0+\frac{1}{2}D\left(3\Delta\ell_0\right)^2=\frac12mv_0^2+mg\Delta\ell_0,\)
azaz – a (7) összefüggéssel egyezően –
\(\displaystyle v_0^2=2\left(-3g\Delta\ell_0+\frac92\frac{D}{m}\left(\Delta\ell_0\right)^2\right)=3g\Delta\ell_0.\)
A függőlegesen felfelé mozgó, egyenletesen lassuló test sebessége
\(\displaystyle t_1=\frac{v_0}{g}=\sqrt{\frac{3\Delta\ell_0}{g}}=\frac{\sqrt{3}}{\omega}=\frac{\sqrt{3}}{2\pi}T\)
idő alatt nullára csökken. Ezután a kétféle mozgás – fordított sorrendben – megismétlődik, a test \(\displaystyle t_1\) ideig szabadon esik, majd további \(\displaystyle t_0\) idő elteltével visszatér a kezdeti állapotához. A mozgás teljes periódusideje ezek szerint
\(\displaystyle T^{(N=3)}=2\left(t_0+t_1\right)=\left(\frac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}\right)\frac{1}{\omega}=\left(\frac23+\frac{\sqrt{3}}{\pi}\right)T\approx 1{,}22\,T.\)
A kétféle kezdőfeltételhez tartozó mozgás sebesség-idő grafikonját a 2. ábra mutatja:
2. ábra
Megjegyzés. A feladat kérdései között ugyan nem szerepelt, de tanulságos lesz, ha kiszámítjuk a test \(\displaystyle h\) emelkedési magasságát a kiindulási helyzethez viszonyítva tetszőleges \(\displaystyle N\)-re.
Feltételezzük, hogy \(\displaystyle \ell_0\) elegendően nagy ahhoz, hogy a gumi még a mozgás felső fordulópontjánál sem válik feszessé. Az energiamegmaradás tétele szerint
\(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}D\left(N\varDelta\ell_0)\right)^2,\)
ahonnan (1) felhasználásával kapjuk, hogy
\(\displaystyle h=\frac{1}{2}N^2\varDelta\ell_0.\)
Látjuk, hogy \(\displaystyle N\gg 1\) esetén az emelkedés magassága sokkal nagyobb is lehet a gumi kezdeti \(\displaystyle N\varDelta \ell_0\) megnyúlásánál. Ez az eset valósul meg a hétköznapi életben az ugróasztalnál (trambulin), illetve a csúzlinál, melyeknél a mozgás ugyancsak a feladatban szereplő egyenletekkel írható le. Reális helyzet, hogy egy csúzli gumiját az óvatosan belehelyezett kis kavics nehézségi ereje csak egy milliméterrel nyújtja meg. Ilyenkor a 20 cm-re kihúzott csúzli (majdnem) függőlegesen felfelé 20 méter magasra tudna lőni, ha nem lenne légellenállás és egyéb energiaveszteségek.
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bense Tamás, Fekete Simon, Hornyák Zalán Zétény, Horváth Péter, Hruby Olivér, Kossár Benedek Balázs, Kyle Tang, Lakatos Levente, Mészáros Máté , Mezei Marcell, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Török Tibor, Zhao Aaron , Zsilák Márk Péter (15 versenyző). 4 pontot kapott: Balassa Ádám, Horváth 001 Botond , Juhász Béla, Vata Luca (4 versenyző). 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai