 |
A P. 5748. feladat (2026. szeptember) |
P. 5748. Egyenletes vastagságú drótból a bal felső ábrán látható keretet készítjük el. Ezután fokozatosan kivesszük a szaggatott vonalaknak megfelelő éleket. Mind a négy esetben az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokra ugyanakkora egyenfeszültséget kapcsolunk. Számítsuk ki az egyes esetekben a hőteljesítmények arányát!
Közli: Cserti József, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Az 1. ábrán átrajzoltuk a négy kapcsolást úgy, hogy a sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállások áttekinthetőbbek legyenek. Egy drót-él ellenállása legyen \(\displaystyle r\), ezek az ábra jelöletlen ellenállásai. Ahol két ilyen sorba van kötve, oda egyetlen \(\displaystyle 2r\) ellenállást rajzoltunk. A négy kapcsolást sorban a, b, c és d betűkkel jelöltük.
Alkalmazva az ellenállások soros és párhuzamos összegzési szabályait, a négy kapcsolás eredő ellenállása a következő:
\(\displaystyle R_\mathrm{a}=\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{2\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}}}}=\frac{r}{\frac{3}{2}+\frac{1}{2\cdot\frac{2}{3}}}=\frac{4}{9}r,\)
\(\displaystyle R_\mathrm{b}=\frac{1}{\frac{1}{2r}+\frac{1}{2\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}}}}=\frac{r}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot\frac{2}{3}}}=\frac{4}{5}r,\)
\(\displaystyle R_\mathrm{c}=\frac{1}{\frac{1}{2r}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}}+2r}}=\frac{r}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{2}{3}+2}}=\frac{8}{7}r,\)
\(\displaystyle R_\mathrm{d}=\frac{1}{\frac{1}{2r}+\frac{1}{4r}}=\frac{r}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}r.\)
Ugyanakkora \(\displaystyle U\) feszültséget kapcsolva a négyféle drótkeret \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontjára a hőteljesítmény fordítottan arányos az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont közötti eredő ellenállással: \(\displaystyle P=\frac{U^2}{R_{AB}}\). A négy teljesítmény egymáshoz viszonyított aránya tehát:
\(\displaystyle \frac{9}{4}:\frac{5}{4}:\frac{7}{8}:\frac{3}{4}=2{,}25:1{,}25:0{,}875:0{,}75.\)
Megjegyzés. Vegyük észre, hogy egyre nő az eredő ellenállás, ahogy sorban elveszünk részeket a keretből.
II. megoldás. Számolhatunk ellenállások helyett vezetésekkel, az ellenállás reciprokával is. Legyen \(\displaystyle g=1/r\). Közben figyelni kell arra, hogy a párhuzamos és soros kapcsolások összegzési szabályai felcserélődnek – cserébe viszont a képletekben kevesebb az emeletes tört:
\(\displaystyle G_\mathrm{a}=\frac{1}{2}g+g+\frac{1}{2}\left(g+\frac{1}{2}g\right)=\frac{9}{4}g,\)
\(\displaystyle G_\mathrm{b}=\frac{1}{2}g+\frac{1}{2}\left(g+\frac{1}{2}g\right)=\frac{5}{4}g,\)
\(\displaystyle G_\mathrm{c}=\frac{1}{2}g+\frac{1}{\frac{1}{g+\frac{1}{2}g}+\frac{1}{\frac{1}{2}g}}=\frac{7}{8}g,\)
\(\displaystyle G_\mathrm{d}=\frac{1}{2}g+\frac{1}{4}g=\frac{3}{4}g.\)
A hőteljesítmény egyenesen arányos az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont közötti eredő vezetéssel: \(\displaystyle P=G_{AB}U^2\), tehát a teljesítmények egymáshoz viszonyított arányára ugyanazt kapjuk, mint az I. megoldásban.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Antal Dávid, Csuvár Barnabás, Fekete Simon, Hammer Kristóf, Horváth Péter, József Áron, Juhász Béla, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Mészáros Máté , Papp Emese Petra, Szighardt Anna, Szolnoki Zoltán, Tóth Domonkos, Török Tibor, Zsilák Márk Péter (16 versenyző). 3 pontot kapott: Ábrahám Réka Lora (1 versenyző). 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai