 |
A P. 5749. feladat (2026. szeptember) |
P. 5749. Egy lakóházra telepített napelem felülete \(\displaystyle 1\,\mathrm{m^2}\). Napéjegyenlőségkor delelésnél a Nap merőlegesen süt rá. Ha a levegő tiszta és nem felhős az ég, akkor mennyi elektromos energiát termel ezen a napon, ha a hatásfoka 17%? (A napállandó a Föld felszínén a légkör elnyelése miatt kb. \(\displaystyle 1\,\mathrm{kW/m^2}\).)
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
(4 pont)
A beküldési határidő 2026. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Napéjegyenlőségkor a Nap pontosan keleten kel, nyugaton nyugszik, \(\displaystyle T/2=12\,\textrm{óra}=43\,200\,\mathrm{s}\) ideig van a horizont fölött, és látszólagos pályáján egyenletes sebességgel mozog egy főkörön. A napelem úgy van megdöntve, hogy deleléskor éppen merőlegesen süt rá a Nap. Forgassuk el úgy az egész rendszert, a napelemet és a Nap pályáját is, hogy a pálya egy függőleges síkban legyen: ezt a könnyebben áttekinthető elrendezést mutatja az 1. ábra.
1. ábra
A napelemet érő energiaáram nagysága \(\displaystyle P=IA\cos\varphi\), ahol \(\displaystyle I=1\,\mathrm{kW/m^2}\) a Föld felszínén mérhető napállandó, \(\displaystyle A=1\,\mathrm{m^2}\) a napelem területe és \(\displaystyle \varphi\) a napsugarak és a napelem normálisa által bezárt, a nap folyamán folyamatosan (és egyenletesen) változó szög. A szöget az idő függvényében a \(\displaystyle \varphi=-\pi/2+\omega t\) összefüggéssel adhatjuk meg, ahol \(\displaystyle \omega=2\pi/T\approx 7{,}3\cdot 10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}\) a Föld (szinodikus) forgási szögsebessége. Érdemes áttérni az \(\displaystyle \alpha=\varphi+\pi/2=\omega t\) szögre, ezzel \(\displaystyle P=IA\sin\alpha=IA\sin\omega t\).
Az egy nap alatt termelt elektromos energiát összegzéssel tudjuk meghatározni:
\(\displaystyle W=\eta\sum_0^{T/2} P\Delta t=\eta IA\sum_0^{T/2}\sin(\omega t)\Delta t=\frac{\eta IA}{\omega}\sum_0^\pi\sin\alpha\Delta\alpha.\)
(Itt felhasználtuk, hogy \(\displaystyle \Delta\alpha=\omega\Delta t\).)
A feladatunk a \(\displaystyle \sum_0^\pi\sin\alpha\Delta\alpha\) összeg (azaz egy szinusz félhullám alatti terület) meghatározása.
I. módszer. Fizikai megfontolással: tekintsünk egy hosszú, \(\displaystyle r\) sugarú, félhenger keresztmetszetű tartályt (2. ábra), amiben \(\displaystyle p\) nyomású gáz van. A félkörív keresztmetszetű falra a szimmetria miatt a sík lapra merőleges eredő erő hat.
2. ábra
Egy \(\displaystyle \alpha\) körüli kis \(\displaystyle \Delta\alpha\) szögtartományban az ábra síkjára merőlegesen \(\displaystyle \ell\) hosszúságú darabra
\(\displaystyle \Delta F_\textrm{ív}=r\Delta\alpha\,\ell\,p\)
erő hat. Ennek a félhenger síklapjára merőleges komponense:
\(\displaystyle \Delta F_{\textrm{ív}\perp}=r\Delta\alpha\,\ell\,p\cdot\sin\alpha.\)
Ezt összegezve a teljes erő:
\(\displaystyle F_\textrm{ív}=r\ell p\sum_0^\pi\sin\alpha\Delta\alpha.\)
A szemközti sík lapra ható erő (ugyanilyen \(\displaystyle \ell\) hosszon):
\(\displaystyle F_\textrm{sík}=2r\ell p.\)
Mivel az edény egyensúlyban van, az eredő erő nulla, azaz a két erő nagysága megegyezik. Ebből
\(\displaystyle \sum_0^\pi\sin\alpha\Delta\alpha=2.\)
II. módszer. Az összegzés helyett integrált írunk, és elvégezzük az integrált:
\(\displaystyle \int\limits_0^\pi\sin\alpha\,\mathrm{d}\alpha=\left[-\cos\alpha\right]_0^\pi=2.\)
Az egy nap alatt termelt elektromos energia tehát
\(\displaystyle W=\frac{2\eta IA}{\omega}=\frac{\eta IAT}{\pi}\approx 4{,}7\,\mathrm{MJ}.\)
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Antal Dávid, Balassa Ádám, Csuvár Barnabás, Fekete Simon, Halmosi Dávid, Hornyák Zalán Zétény, Horváth 001 Botond , Hruby Olivér, Juhász Béla, Kossár Benedek Balázs, Mészáros Máté , Takács Vince Ata, Vata Luca (13 versenyző). 3 pontot kapott: Gröller Janka, Horváth Péter (2 versenyző). 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2026. szeptemberi fizika feladatai