A B. 5119. feladat (2020. október)

B. 5119. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszögben a beírt kör \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos érintője az \(\displaystyle AC\) oldalt a \(\displaystyle D\) pontban metszi. A \(\displaystyle D\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) oldalon az \(\displaystyle F\) pont. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AB=AD+BF\).

(3 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a beírt kör érintési pontjait a háromszög oldalain \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) az ábra szerint, és legyen \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos érintő érintési pontja. Párhuzamos egyenesek érintési pontjai a körben átellenes pontok, tehát \(\displaystyle PT\) a beírt körnek átmérője, amely merőleges a \(\displaystyle CP\) és \(\displaystyle DT\) érintőkre: \(\displaystyle TPC\sphericalangle=DTP\sphericalangle=90^\circ\).

A feltétel szerint az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle D\) merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) oldalon, ezért \(\displaystyle BFD\sphericalangle\) is derékszög. A \(\displaystyle DFPT\) négyszögnek az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle T\) csúcsoknál is derékszöge van, tehát a \(\displaystyle DFPT\) négyszög téglalap.

A téglalap szemközti oldalai egyenlők, emiatt \(\displaystyle FP=DT\). Továbbá, a körhöz az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle B\), illetve a \(\displaystyle D\) pontból húzott érintő szakaszok egyenlők, így \(\displaystyle AQ=AR\), \(\displaystyle BP=BR\) és \(\displaystyle DQ=DT=FP\). Mindezeket figyelembe véve:

\(\displaystyle AD+BF=(AQ-DQ)+(BP+FP)=(AQ+BP)+(FP-DQ)=(AR+BR)+0=AB. \)

Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle AD+BF=AB\).

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	94 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai