Fórum: Ellipszisek

Ha két hétig nem akadt rá vállalkozó… A szükséges és elégséges feltétel: a háromszög legyen derékszögű. Bizonyítás: Legyen P egy megfelelő pont, távolsága a háromszög A,B,C csúcsaitól x,y és z. A C csúcson átmenő ellipszis nagytengelye AC + CB = b + a . Mivel P rajta van ezen az ellipszisen, x + y = b + a . Hasonlóan adódik, hogy y + z = b + c és z + x = c + a . Az egyenletrendszerből x = a , y = b és z = c. Az első kettőből P csak olyan pont lehet, ami A-tól a , B-től b távolságra van. Különböztessünk meg 3 esetet.
1) P az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint C és a >= b
2) P az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint C és a <= b
3) P az AB egyenesnek a C-vel ellentétes oldalán van.

Az 1) esetben ABC és ABP háromszögek egybevágóak, ABPC egyenlőszárú trapéz. Ha most figyelembe vesszük a harmadik egyenlőséget is: z = c , vagyis PC = c , akkor ABPC alapjai egyenlők, ABPC téglalap, az ABC háromszög A-nál derékszögű.

A 2) esetben hasonlóan adódik, hogy ABCP téglalap, az ABC háromszög B-nél derékszögű.

Végül a 3) esetben az egybevágó ABC és BAP háromszögek miatt APBC paralelogramma. A harmadik egyenlőséget figyelembe véve PC = z = c = AB . APBC átlói egyenlőek, APBC téglalap, ABC háromszög C-nél derékszögű. A feltétel tehát szükséges.

A feltétel elégséges is. Ha a háromszög derékszögű, legyen P a körülírt körnek a derékszögű csúccsal átellenes pontja. Könnyen látható, hogy erre teljesülnek a csúcsoktól mért távolságokra előírt követelmények, P mindhárom ellipszisen rajta van.

Egy háromszög csúcsaihoz rendeljünk ellipsziseket, amelyek átmennek az adott csúcsokon, fókuszpontjaik, pedig a másik két csúccsal esnek egybe. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a három ellipszisnek legyen közös pontja?