Fórum: Trigonometria

Nem bírtam ki sajnos, hogy ne kezdjem el mielőbb a válaszokat, és két megjegyzést meg kell tegyek:

1. A "szép" matematikailag nem definiált fogalom, maradjunk a feladatomban szereplő eredeti megfogalmazásnál: Kérdésem, hogy az ott látható trigonometrikus kifejezés egyszerűbb alakba írható-e az arcus-függvény kiküszöbölésével, vagy sem...? Erre keressük a választ!

2. Előre elnézést kérek, ha most pontatlan és körülményes leszek a megfogalmazásomban: A [77] - [78] -ban szereplő állításodban van a "kutya elásva", mert a kérdés "trükkös", és LEHET, HOGY MATEMATIKAILAG HELYTELEN IS (vállalom, ezért ez egy fórum, és az meg nem egy beküldött versenyfeladat!), de nevezzük akkor a kérdést "didaktikainak/nyelvinek", ugyanis olyan, a megadottnál egyszerűbb trigonometrikus alakot keresek, amiben az arkusz-függvény nincs leírva... Mutatok erre egy nagyon egyszerű példát: A \(\displaystyle 8x^{3}-6x+1\) egyenlet egyik gyöke jól ismert: ez \(\displaystyle \sin(10°)\) . Erről tudjuk, hogy nem szerkeszthető euklidészi úton, mégis megjelent olyan alakban, hogy az arkusz függvény nem szerepel benne (leírva!), csak egy olyan trigonometrikus forma, ami "szakközepes ismeretekkel" értelmezhető, egy bizonyos mélységig (erre külön felhívtam a figyelmet utólag, ezen kérdésem ötletét adó szakközépiskolai - "Sárga"-könyvemre, mint forrásra - utalással!). Az igaz, hogyha mélyebbre megyünk, akkor már elkerülhetetlen a komplex szám is, és az arkusz-függvény bevezetése is, de az is igaz, hogy mégis látjuk az egyik gyök egy egyszerű, rövid, és tömör formáját, amiben sem gyökjel, sem komplex szám, sem arkusz-függvény nem szerepel: \(\displaystyle \sin(10°)\) . Én egy ilyen alakot keresek annál a feladatnál is, amit kitettem, bár elismerem, itt most ismerethiányok miatt lehet, hogy FÉLREÉRTHETŐ VOLT a kérdésem, de később jeleztem, hogy nem szerkeszthető alakot keresek. Az viszont, hogy az általad leírt formánál (lásd azt a hozzászólásod, amire válaszolok!) a kérdezett gyök jóval egyszerűbb alakban is felírható (ha úgy tetszik: egyszerűsíthető!), ez szerintem ugyanilyen létjogosultságú tény. De itt már vita képes vagyok, minden kritikát elfogadok.

Nagyon köszönöm, minden pillanatot, és a hozzászólásokat különösen, a matematikában nálam a rossz hozzászólás néha értékesebb, mint a jó, ha vállaljuk! Holnap át is nézem és reagálok is rájuk. És ha még bármi eszébe jut feltétlenül jelezze! Még egyszer köszönöm!

Írok valami bizonyításfélét, hogy a köbgyökvonás miért nem végezhető el szépen. És akkor talán válaszoltam valamennyire a problémára. Amúgy szép és érdekes volt a kérdés felvetése.

Legyen \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális számok. Ekkor a zárójel-felbontásokat elvégezve, a következő egyenletek adódnak:

#1: \(\displaystyle a^3-9*a*b^2=148\)

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

\(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\)

Mindkét oldal normáját véve:

\(\displaystyle N(148+4*\sqrt{-3})=N((a+b*\sqrt{-3})^3)\)

elvégezve a számításokat:

\(\displaystyle 28^3=(a^2+3*b^2)^3\)

köbgyökvonás:

#3: \(\displaystyle 28=a^2+3*b^2\)

rendezés:

#3: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

vissza a #2 egyenlethez:

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

helyettesítés: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

\(\displaystyle 3*b*(28-3*b^2-b^2)=4\)

rendezés:

\(\displaystyle 3*b^3-21*b+1\)=0

Ha \(\displaystyle b\) racionális, akkor \(\displaystyle b=+1\), \(\displaystyle b=-1\), \(\displaystyle b=+1/3\), \(\displaystyle b=-1/3\) lehet csak. Egyik esetben sincs olyan racionális \(\displaystyle a\), amely mindhárom egyenletnek megfelelne.

javítom magam, az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet diszkriminánsa:

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{q}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{p}{3}\bigg)^3=-48\)

Nézzük az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet megoldását.

\(\displaystyle p=-84\)

\(\displaystyle q=-296\)

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{q}{3}\bigg)^3=-48\)

Ekkor az egyik gyök:

\(\displaystyle x=\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

A másik két gyök:

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

Az egész csak azon múlik, hogy az \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\), illetve a \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\) kifejezések felírhatóak-e \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve a \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\) alakban, ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számok. Ha ezt meg tudnánk tenni, akkor az egyenlet mindhárom gyökénél a köbgyökvonást szépen el tudnánk végezni, és akkor az egyenlet mindhárom gyöke szép alakban is megadható. Most géppel programot írtam, elég sok racionális számot próbáltam \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékére, és nem találtam megfelelő \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számokat. Nagyon nagy eséllyel nem tudjuk ezeket a köbgyökvonásokat szépen elvégezni.

Megengedett itt egy kis (témábavágó) humor? Az a félelmetes, hogy úgy gyök, hogy gyökjelet még hírből sem látott... ;) Na jó, most viszont már... Si tacuisses, philosophus mansisses!

Rendben. Elfogadom. Igazat is adok. Nem szerkeszthető. Ez tény. De, ha "egyszerű és szép", vajon megtalálható?

Talán szabályos 37 oldalú sokszöget aarsz szerkeszteni, vagy 37-ik egységgyököket akarod meghatározni? csak kérdezem.

bocsi, végig \(\displaystyle cos(1/3*arc tg(\alpha))\) kifejezésre gondoltam, és az "arc tg"-től való szabadulásra.

Ha ki tudnánk kerülni a \(\displaystyle cos(1/3*arc cos(\alpha))\) kifejezésben az "arc cos"-t, akkor tetszőleges \(\displaystyle \alpha\) szöget lehetne euklideszi szerkesztéssel harmadolni. De tudjuk, hogy ezt nem lehet.

Amit kérdezel, az tulajdonképpen egy algebrai szám. Az általam megadott egyenletben szereplő polinom ennek az algebrai számnak a minimálpolinomja. Legtöbbször a minimálpolinommal van definiálva az algebrai szám, ez a minimálpolinom megmutatja, hogy az algebrai számmal hogyan kell számolni.

Talán segítene, hogy miért pont ezzel a kifejezéssel foglalkozol. Ha tudom ennek okát, akkor ez is sokat segíthet.

Tegnap este 10kor kicsit álmoska voltam.... mindegy, leírtam, hogy mire gondolok, hátha ezzel is segítek. Szerintem nem tudsz szabadulni az "arc cos"-tól. Mostanában néztem a szabályos 7szög, 13szög, 19szög szerkesztését, ott is pont ilyen jellegű kifejezések vannak. Van a \(\displaystyle cos(\alpha)=4*cos^3(\alpha/3)-3*cos(\alpha/3)\) azonosság, hát ha ezt használom, akkor is kell harmadfokú egyenlet.

Annyiban egyébként jó a gondolat, hogy nyilván a látható harmadfokú egyenlet megoldása a keresett irracionális szám (segítségével felírt összefüggés), de hát amilyet keresünk konkrétan számok, olyanok anno a mi "Sárga Keményfedelesünkben (Matematikai Feladatgyűjtemény I., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 11. kiadás)" nem is a komplexeknél szerepeltek( II/9. fejezet 89-94 o.), hanem az Irracionális Számok fejezetében (II/7 fejezet 82-86 o.), így értettem, hogy tisztán "régi szakközepes" keretek között maradunk, a valósokon belül... ;)

Bocsánat, de ebből következtethetünk akkor valamire, hogy "Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.", vagy már látható ebből a megoldás, csak lehet, hogy én még nem vettem észre?

Rajzoljunk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek egyik hegyesszöge x, az x-szel szemközti befogó gyök3, a másik befogó 37. Ilyenkor az átfogó 14*(gyök7). Kiemelve, majd az egyik addíciós tételt alkalmazva, azt kaptam, hogy -4*(gyök7)*sin((pi/6)+(x/3)).

sin(pi/2+x)=cosx=3*(sinA)-4*(sinA)*(sinA)*(sinA)=37/((gyök7)*14), ahol A=(pi/6)+(x/3)

Használtam a sin3B=3*(sinB)-4*(sinB)*(sinB)*(sinB) összefüggést is. Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.

Bocsánatot kérek, lemaradt egy negatív előjel az enyimről, a tied van rendben, nem Te írtad el, hanem én. Még egyszer elnézést, valóban a második gyököd felel meg a kérdezettnek, de attól még az a kérdésem szempontjából tényleg kitérő, nem az elvárt válasz.

...és ha jól látom elírtad, és egyébként is a harmadik(legalsó) gyököd esik egybe az általam kérttel, de ez a kérdésem szempontjából most teljesen irreleváns ...viszont további szigorításként megemlítem akkor már, hogy olyan alakot tekintek egyszerűbbnek, ami a komplex számokat sem vezeti be, tehát úgy rövid, hogy közben valósokon belül marad(...nem Euler, meg ilyesmi, tisztán "szakközepes" forma, csak szebb, tömörebb, kompaktabb... ;-) Szép estét Mindenkinek!

Nem szeretnék butaságot kérdezni, de abban, amit megadtál, hol van kiküszöbölve az arcus, ami a kitűzésben szerepelt feltételként?

Ezt a megoldást, amit leírtál, megadja az összes megoldóképlet, kb.

A feladatot kérlek olvasd el...

Ez a szám gyöke az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenletnek. Az egyenlet gyökei:

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37}))\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})+\frac{2\pi}{3})\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})-\frac{2\pi}{3})\)

A második gyök az általad megadott szám.

(Amelyik hozzászólásomra válaszolok, azon a képen anno vétettem egy hibát, ha jól látom, a szumma alsó határa hibásan 1-től indul, de ahhoz, hogy az alsó azonosságom érvényes legyen, a szummázást 0-tól kell kezdeni, különben a konstans tag hiányozna... hát... ahogy az ember öregszik, a fiatalabb kori tévedéseire is jobban rálát... de most nem humorizálni jöttem, hanem... ;) )

Volna itt egy - remélhetőleg a korábbiaknál jóval egyszerűbb - felvetésem, hátha tud valaki segíteni, előre is köszönöm mindenkinek! :)

Nos, az elejére fölírtam a megoldást, bár pont a sin (nx) kifejtésével kapcsolatos részre még nem.

Igaz, igaz, Jonas, de mintha annál - az általad kitűzött feladatnál - is csak a feladatot látnám - vagyis mint ahogy magad is írod - az a változat túl gonosznak tűnik ahhoz, hogy megoldások is érkezzenek hozzá (nem is sok próbálkozást találtam a Csebisev-polinomos feladatodra a hivatkozáson az Érdekes feladatok között, persze lehet hogy én nem néztem át elég alaposan az utána érkező válaszokat). Lényegében én meg nem szeretem elvenni a gondolkodók kedvét, ezért egy kicsit egyszerűbben igyekeztem tálalni valami hasonló témába vágót, amolyan kedv csináló gyanánt...

De persze, ha az enyimre sem nem jön válasz, mondjuk max 1-2 héten belül, én hamarosan mindenképp mellékelek egy megoldást is, csak a teljesség kedvéért (mert sosem szerettem, ha egy jó feladat megoldás nélkül marad, hiszen abból nehéz tanulni...) .

De köszönöm hogy rámutattál.

A sin (nx) kifejtéséről épp most volt szó: Érdekes matekfeladatok [3368].

Szóval végülis ezzel az egész dologgal éppen azt szerettem volna elérni, hogy kerüljön ide az általad felhasznált kifejtés általánosított bizonyítása is, azaz feltételezve az ismert 1. összefüggést, mutassuk meg, hogy következik belőle a második (vagyis az eredeti sorozatos feladatomban [a(2n+1)] helyett már sin(2n+1)x szerepel, és 2c legyen 2cosx)!